مقطع مخروطی/نسخه چاپی

مقطع مخروطی

نسخه کنونی و قابل ویرایش این کتاب را می‌توانید در وبگاه ویکی‌کتاب در نشانی زیر بیابید
https://fa.wikibooks.org/wiki/%D9%85%D9%82%D8%B7%D8%B9_%D9%85%D8%AE%D8%B1%D9%88%D8%B7%DB%8C

شما اجازه کپی و پخش این اثر را تحت مجوز مستندات آزاد گنو دارید.

مقدمه

اسم این کتاب مقطع مخروطی است.

مقطع‌های مخروطی به شکل‌های حاصل از بریدن مخروط می‌گویند.

مقطع مخروطی از مهم ترین موارد هندسه فضایی است. همچنین در دبیرستان، در دو رشته ریاضی فیزیک و علوم تجربی نیز باآنها سروکار داریم.

تعریف

در ریاضیات، مقطع مخروطی (یا به سادگی مخروطی، گاهی اوقات منحنی درجه دوم نامیده می‌شود) منحنی است که به عنوان تقاطع سطح یک مخروط با یک صفحه به دست می‌آید. سه نوع مقطع مخروطی عبارتند از هذلولی، سهمی، و بیضی. دایره یک مورد خاص از بیضی است، اگرچه از نظر تاریخی گاهی اوقات آن را نوع چهارم می‌نامند. ریاضیدانان یونان باستان مقاطع مخروطی را مورد مطالعه قرار دادند که در حدود ۲۰۰ سال قبل از میلاد با کار سیستماتیک آپولونیوس پرگا بر روی خواص آنها به اوج رسید.

ویژگی ها

مقاطع مخروطی در صفحه اقلیدسی دارای ویژگی های متمایز مختلفی هستند که بسیاری از آنها را می توان به عنوان تعاریف جایگزین استفاده کرد. یکی از این ویژگی‌ها مخروطی غیر دایره‌ای  را مجموعه‌ای از نقاطی تعریف می‌کند که فواصل آن‌ها تا یک نقطه خاص به نام کانون و یک خط خاص به نام جهات در یک نسبت ثابت است که خروج از مرکز نامیده می‌شود . نوع مخروط با مقدار خروج از مرکز تعیین می شود. در هندسه تحلیلی ، مخروطی ممکن است به عنوان یک منحنی جبری صفحه درجه 2 تعریف شود. یعنی به عنوان مجموعه نقاطی که مختصات آنها معادله درجه دوم را برآورده می کنددر دو متغیر که ممکن است به صورت ماتریسی نوشته شوند. این معادله امکان استنتاج و بیان جبری خواص هندسی مقاطع مخروطی را فراهم می کند.

در صفحه اقلیدسی، سه نوع بخش مخروطی کاملاً متفاوت به نظر می رسند، اما ویژگی های بسیاری دارند. با گسترش صفحه اقلیدسی تا شامل یک خط در بی نهایت، به دست آوردن یک صفحه نمایشی ، تفاوت ظاهری ناپدید می شود: شاخه های یک هذلولی در دو نقطه در بی نهایت به هم می رسند و آن را به یک منحنی بسته تبدیل می کنند. و دو انتهای یک سهمی به هم می رسند تا آن را به یک منحنی بسته مماس بر خط در بی نهایت تبدیل کنند. گسترش بیشتر، با گسترش مختصات واقعی برای پذیرش مختصات پیچیده ، ابزاری را برای مشاهده این یکسان سازی به صورت جبری فراهم می کند.

دوران اشکال مخروطی

از دوران هر شکل دور یک محورش شکل جدیدی به وجود می‌آید.

مثلاً از دوران مستطیل حول یک محورش، استوانه به دست می‌آید.

مثلاً پاره‌خطی را حول خطی که بر آن عمود است دوران دهیم، یک دایره ایجاد می‌شود.

مثلا از دوران یک دایره حول قطر آن یک کره به وجود می آید.

مثلا از دوران یک بیضی حول یکی از قطر هایش یک کره گون به وجود می آید.

مثلا از دوران یک سهمی حول یکی از قطرهایش یک سهمی گون به وجود می آید

مثلا از دوران یک هذلولی حول یکی از قطرهایش ،یک هذلولی گون به وجود می آید.

تعریف مختصر مقاطع مخروطی

دایره

دایره یک منحنی مسطح و بسته و شامل نقاطی از صفحه است که فاصله‌شان از نقطهٔ ثابتی واقع در آن صفحه مقداری ثابت باشد. نقطهٔ ثابت، مرکز دایره و مقدار ثابت، اندازهٔ شعاع دایره نامیده می‌شود. همچنین دایره را می‌توان یک بیضی دانست که کانون‌های آن بر همدیگر منطبقند (برون‌مرکزی آن صفر است)؛ ازین‌رو دایره یکی از مقاطع مخروطی است. مقطع مخروطی منحنی‌ای است که در محل تقاطع یک صفحه با یک مخروط پدیدار می‌شود، و هنگامی که صفحه با مقطع مخروط موازی باشد منحنی حاصل دایره خواهد بود. دایره را همچنین می‌توان به عنوان چندضلعی متساوی‌الاضلاعی تعریف کرد که تعداد اضلاع آن به بی‌نهایت میل می‌کند.

بیضی

بیضی مجموعه‌ی نقاطی از صفحه است که جمع فواصل آن نقاط از دو نقطه‌ی ثابت در صفحه، عددی ثابت است.

به این دو نقطه ثابت کانون‌های بیضی گفته می‌شود و فاصله این دو را فاصله‌ی کانونی می‌نامند. بیضی دارای دو قطر می‌باشد که بر هم عمود هستند و به محل برخورد این دو قطر مرکز بیضی گفته می‌شود.

سهمی

سهمی مکان هندسی و مجموعه نقاطی از صفحه است که از یک خط و از یک نقطه هم فاصله هستند.سهمی خمی باز است که از برخورد مخروطی قائم با قاعدهٔ دایره‌ای و صفحه‌ای حاصل می‌شود که با یکی از وترهای مخروط موازی باشد ولی با ارتفاع مخروط موازی نباشد. اگر این صفحه با قاعدهٔ مخروط موازی باشد حاصل دایره، اگر با ارتفاع مخروط موازی باشد حاصل هذلولی، و اگر با هیچ‌یک از وترهای مخروط یا ارتفاع آن موازی نباشد حاصل بیضی خواهد بود.

هذلولی

هُذلولی خمی باز است که از برخورد یک صفحه با سطح مخروطی، در حالتی که صفحه، موازی با محورِ سطحِ مخروطی باشد، پدید می‌آید. در صفحهٔ اقلیدسی و از نظر مکان هندسی، هذلولی مجموعه‌ای از نقاط در یک صفحه است که تفاضل فاصلهٔ هر یک از آن‌ها از دو نقطهٔ ثابت در صفحه (کانون‌ها)، مقداری ثابت (دو برابر مقدار a در هذلولی) باشد؛ اگر نصف اندازهٔ طول و عرض هذلولی را a و b و نصف فاصلهٔ کانونی را c بنامیم، در هر هذلولی رابطهٔ c² = a² + b² برقرار خواهد بود. هر هذلولی دو خط مجانب دارد که در مرکز هذلولی با هم برخورد می‌کنند.

دایره

در هندسه، دایره یک منحنی مسطح و بسته و شامل نقاطی از صفحه است که فاصله‌شان از نقطهٔ ثابتی واقع در آن صفحه مقداری ثابت باشد. نقطهٔ ثابت، مرکز دایره و مقدار ثابت، اندازهٔ شعاع دایره نامیده می‌شود. همچنین دایره را می‌توان یک بیضی دانست که کانون‌های آن بر همدیگر منطبقند (برون‌مرکزی آن صفر است)؛ ازین‌رو دایره یکی از مقاطع مخروطی است. مقطع مخروطی منحنی‌ای است که در محل تقاطع یک صفحه با یک مخروط پدیدار می‌شود، و هنگامی که صفحه با مقطع مخروط موازی باشد منحنی حاصل دایره خواهد بود. دایره را همچنین می‌توان به عنوان چندضلعی متساوی‌الاضلاعی تعریف کرد که تعداد اضلاع آن به بی‌نهایت میل می‌کند.

تعریف دایره

معمولی

دایره مجموعهٔ نقاط صفحه را به سه گروه تقسیم (اِفراز) می‌کند: داخل دایره (یا قرص)، روی دایره (یا محیط)، و بیرون دایره. نسبت محیط دایره به قطر آن (بیشترین فاصلهٔ بین دو نقطه روی محیط) همیشه ثابت است و عددِ پی  نامیده می‌شود. محاسبهٔ عدد پی سابقه‌ای طولانی در تاریخ بشر دارد. ارشمیدس روشی با استفاده از چهارضلعی‌های محاطی و محیطی برای محاسبهٔ عدد پی ابداع کرد. آپولونیوس و غیاث‌الدین جمشید کاشانی هم عدد پی را با دقتی بالا محاسبه کردند. همچنین مساحت دایره برابر است با حاصلضربِ مربعِ شعاع دایره در عدد پی. دایره حداکثر مساحت ممکن برای مقدار معین محیط و حداقل محیط ممکن برای مقدار معین مساحت را دارد.

به عنوان مقطع مخروطی

دایره «حالت خاص تبهگون» از بیضی‌ است که در آن نیم‌قطر بزرگ و نیم‌قطر کوچک مساوی‌اند (برون‌مرکزی آن صفر است). ازین رو دایره یکی از مقاطع مخروطی است، به این مفهوم که در محل برخورد مخروطی قائم و صفحه‌ای که با قاعدهٔ آن مخروط موازی باشد دایره پدید می‌آید. در هندسه تصویری، اشتقاق دایره از مخروط معادل تصویر مرکزی مقطع مخروط روی صفحه‌ای است که با قاعدهٔ مخروط موازی است.

در هندسه اقلیدوسی

دایره مکان هندسی همهٔ نقاطی است که از یک نقطهٔ معین (موسوم به مرکز دایره) فاصله‌ای ثابت (موسوم به شعاع) داشته باشند. یعنی:

$C(O,R)=O(R)=\{x:{\overline {Ox}}=R\}$

این تعریف دایره معادل همان تعریفی است که اقلیدس در اصول ارائه می‌کند:

دایره شکلی مسطح است که در یک خط به نام محیط مظروف شده است، به‌شکلی که همهٔ خط‌های راستی که از یک نقطهٔ معین در داخل آن به محیط کشیده می‌شوند با یکدیگر مساویند.

و در ادامه

نقطهٔ مذکور «مرکز دایره» نام دارد.

بیضی

بیضی یک منحنی مسطح و بسته است که دو کانون دارد و حاصل جمع فاصلهٔ هر نقطه روی محیط آن با دو کانونش مقدار ثابتی است. شکل بیضی (مقدار کشیده بودنش) با مقدار برون‌مرکزی آن مشخص می‌شود. برون‌مرکزیِ بیضی عددی بین صفر و یک است و هر چه کوچک‌تر باشد کشیدگی بیضی کمتر است. اگر برون‌مرکزی بیضی صفر باشد، دو کانون آن روی هم می‌افتند و منحنی تبدیل به دایره (که حالت خاص بیضی است) می‌شود. بیضی را همچنین می‌توان با عنوان «مقطع مخروطی بسته» تعریف کرد.مقاطع مخروطی مثل سهمی و هذلولی منحنی های باز هستند.بیضی دارای دونقطه کانون است.

مقطع مخروطی منحنی‌ای است که در گونه‌های دیگر مقاطع مخروطی (سهمی و هذلولی) بازند و کراندار نیستند.بیضی دارای کانون نیز است.

سهمی

در ریاضیات سهمی منحنی صفحه ای است که متقارن آینه ای و تقریباً U شکل است. این با چندین توصیف ریاضی متفاوت سطحی مطابقت دارد ، که می توان ثابت کرد که همه آنها دقیقاً منحنی های مشابهی را تعریف می کنند.

یکی از توصیفات سهمی شامل یک نقطه (مرکز ) و یک خط (جهت مستقیم ) است. تمرکز بر روی دایرکتوریکس نیست. سهمی مکان نقاطی در آن صفحه است که هم از جهت و هم از کانون فاصله دارند. توصیف دیگر سهمی به صورت یک مقطع مخروطی است که از تقاطع یک سطح مخروطی دایره ای راست و یک صفحه موازی با صفحه دیگری که مماس بر سطح مخروطی است ایجاد می شود.

خط عمود بر جهات و گذر از کانون (یعنی خطی که سهمی را از وسط می شکافد) "محور تقارن" نامیده می شود. نقطه ای که سهمی محور تقارن خود را قطع می کند " راس " نامیده می شود و نقطه ای است که سهمی به شدت منحنی است. فاصله بین راس و کانون، که در امتداد محور تقارن اندازه گیری می شود، "فاصله کانونی" است. " لاتوس رکتوم " وتر سهمی است که موازی با جهت است و از کانون عبور می کند. سهمی ها می توانند به سمت بالا، پایین، چپ، راست یا در جهت دلخواه دیگر باز شوند. هر سهمی را می توان تغییر مکان داد و تغییر مقیاس داد تا دقیقاً روی هر سهمی دیگری قرار گیرد - یعنی.

سهمی ها این خاصیت را دارند که اگر از ماده ای ساخته شده باشند که نور را منعکس می کند ، نوری که به موازات محور تقارن یک سهمی حرکت می کند و به طرف مقعر آن برخورد می کند به کانون آن منعکس می شود، صرف نظر از اینکه انعکاس در کجای سهمی رخ می دهد. برعکس، نوری که از یک منبع نقطه‌ای در کانون نشات می‌گیرد، به یک پرتو موازی ("همسو") منعکس می‌شود و سهمی را موازی با محور تقارن می‌گذارد. اثرات مشابه با صدا و امواج دیگر رخ می دهد. این خاصیت بازتابی اساس بسیاری از کاربردهای عملی سهمی ها است.

سهمی کاربردهای مهم بسیاری دارد، از آنتن سهموی یا میکروفون سهموی گرفته تا بازتاب‌دهنده چراغ‌های جلو خودرو و طراحی موشک‌های بالستیک . اغلب در فیزیک ، مهندسی و بسیاری از زمینه های دیگر استفاده می شود.

معادله

معادله ساده سهمی:$y=x^{2}\,$ می‌باشد. شکل کلی معادله سهمی در دستگاه مختصات دکارتی، به شکل زیر است:

$Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0\,$

که ضرایب $A$ تا $F$ همگی ثابت و حقیقی بوده، $A$ یا $C$ غیر صفر هستند، و همچنین $B^{2}=4AC\,$.

مختصات قطبی

مقاطع مخروطی با کانون مشترک

اگر الگو:ریاضی سهمی ای با معادلهٔ دکارتی $y^{2}=2px$ (سهمی به سمت راست باز می‌شود) دارای معادلهٔ قطبی زیر است:

$r=2p{\frac {\cos \varphi }{\sin ^{2}\varphi }},\quad \varphi \in \left[-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right]\setminus \{0\}$

($r^{2}=x^{2}+y^{2},\ x=r\cos \varphi$).

محور سهمی $V=(0,0)$ و کانون آن $F=\left({\tfrac {p}{2}},0\right)$ است.

اگر مبدأ را به سمت کانون جابه جا کنیم یعنی $F=(0,0)$ معادله ی قطبی زیر را خواهیم داشت:

$r={\frac {p}{1-\cos \varphi }},\quad \varphi \neq 2\pi k.$

روش انتقال

$y=a(x-h)^{2}+k\,$

• a بیانگر باز و بسته شدن دهانه تابع است.
• h بیانگر جابجا شدن نمودار در جهت افقی. (برخلاف علامت h حرکت می‌کند)
• k بیانگر جابجا شدن نمودار در جهت عمودی. (برجهت علامت k حرکت می‌کند)

در معادله بالا h باعث انتقال افقی و k باعث انتقال عمودی می‌شود. کافیست نمودار $y=x^{2}$ رسم کرده و با توجه به علامت h و k آن را منتقل می‌کنیم.

بنابراین می‌توان این‌گونه نتیجه گرفت که، h برابر است با طول رأس سهمی، و k برابر است با عرض رأس سهمی.

انتقال سهمی به صورا مختصات برداری

مساحت زیر سطح سهمی

مساحت زیر سطح سهمی که منحنی و تابعی است براساس این روش بیان می گردد

$S:{\int _{0}^{\pi }{(f(x)={\frac {x^{2}}{4}}+2})dx}$

مساحت زیر سطح سهمی بر اساس و رابطه مختصات دوبعدی قطبی بدست می آید. و چون در مختصات واحد مختصات سهمی2واحد بیشتر است به علاوه دو می کنیم

هذلولی

هذلولی نوعی منحنی صاف است که در هواپیما قرار دارد و با ویژگی های هندسی آن یا معادلاتی که مجموعه راه حل آنها است، تعریف می شود. هذلولی دارای دو قطعه است که به آنها اجزا یا شاخه های متصل می گویند که تصاویر آینه ای از یکدیگر هستند و شبیه دو کمان بی نهایت هستند. هذلولی یکی از سه نوع مقطع مخروطی است که از تقاطع یک صفحه و یک مخروط دوتایی تشکیل می شود . (بخش های مخروطی دیگر سهمی و بیضی هستند. دایره حالت خاصی از بیضی است.) اگر صفحه هر دو نیمه مخروط دوتایی را قطع کند اما از راس مخروط ها عبور نکند، آنگاه مخروط یک هذلولی است.

کره

کره جسمی هندسی است که شبیه یک دایره سه بعدی دو بعدی است. کره مجموعه ای از نقاط است که همگی در فاصله r از یک نقطه معین در فضای سه بعدی قرار دارند. آن نقطه داده شده مرکز کره و r شعاع کره است. اولین ذکرهای شناخته شده از کره در کار ریاضیدانان یونان باستان ظاهر می شود.

کره یک شی اساسی در بسیاری از زمینه های ریاضیات است. کره ها و اشکال تقریباً کروی نیز در طبیعت و صنعت ظاهر می شوند. حباب هایی مانند حباب های صابون در حالت تعادل شکل کروی به خود می گیرند. زمین اغلب در جغرافیا به عنوان یک کره تقریب می شود و کره آسمانی یک مفهوم مهم در نجوم است. اقلام ساخته شده از جمله مخازن تحت فشار و اکثر آینه ها و عدسی های منحنی بر اساس کروی هستند.

اصلاحات پایه

شعاع کره را باRیاrنشان می دهند.شعاع کره از مرکز دایره تا نقطه ای نقاط کره امتداد دارد. اگر شعاع را از مرکز دایره کره به نقطه ای از کره که قاعده نصف کند امتداد دهیم قطر به وجود می آید.قطر دوبرابر شعاع است که با نماد2rیاdنشان می دهند.اگر شعاع کره برابر با عدد۱ باشد این کره یک واحد کره به حساب می آید.سیارات و ستاره ها و کره زمین و خورشید به صورت کروی هستند و از نوع کرات متشابه هستند.این اجرام آسمانی هم شعاع نیستند و به همین چون کره هستند باهم تشابه دارند. ریاضیدانان کره را یک سطح بسته دو بعدی می دانند که در فضای سه بعدی اقلیدسی جاسازی شده است . آنها یک کره و یک توپ را که یک منیفولد سه بعدی با مرزی است که شامل حجم موجود در کره است، متمایز می کنند. یک توپ باز خود کره را حذف می کند، در حالی که یک توپ بسته شامل کره است: یک توپ بسته ترکیب توپ باز و کره است و یک کره مرز یک توپ (بسته یا باز) است. تمایز بین توپ و کرههمیشه حفظ نشده است و به خصوص منابع ریاضی قدیمی تر در مورد کره به عنوان یک جامد صحبت می کنند. تمایز بین " دایره " و " دیسک " در هواپیما مشابه است.

کره های کوچک گاهی اوقات کروی نامیده می شوند، به عنوان مثال کره مریخ .

کره گون

کره گون که با نام بیضی سه بعدی چرخشی یا بیضی چرخشی نیز شناخته می شود، سطح چهارگانه ای است که از چرخش یک بیضی حول یکی از محورهای اصلی آن به دست می آید. به عبارت دیگر، یک بیضی با دو نیمه قطر مساوی. کروی دارای تقارن دایره ای است. اگر بیضی حول محور اصلی خود بچرخد، نتیجه یک کروی پرولاتی است که مانند توپ راگبی کشیده شده است. فوتبال آمریکایی شبیه به هم است اما انتهایی نوک تیزتر از یک کروی دارد. اگر بیضی حول محور کوچک خود بچرخد، نتیجه یک کروی مایل است که مانند یک عدس یا یک M&M ساده صاف شده است. اگر بیضی مولد یک دایره باشد، حاصل یک کره است. به دلیل اثرات ترکیبی گرانش و چرخش، شکل زمین (و تمام سیارات) کاملاً یک کره نیست، اما در عوض در جهت محور چرخش خود کمی مسطح شده است. به همین دلیل، در نقشه‌برداری و ژئودزی، زمین اغلب به‌جای یک کره، با یک کروی مایل، معروف به بیضی مرجع تقریب می‌یابد. مدل کنونی سیستم ژئودتیک جهانی از کره گون استفاده می کند که شعاع آن 6378.137 کیلومتر (3963.191 مایل) در استوا و 6356.752 کیلومتر (3949.903 مایل) در قطب است. کلمه کروی در اصل به معنای "یک جسم تقریباً کروی" بود که بی نظمی ها را حتی فراتر از شکل بیضی دو یا سه محوری می پذیرفت. به این ترتیب است که این اصطلاح در برخی از مقالات قدیمی تر در مورد ژئودزی استفاده می شود (به عنوان مثال، اشاره به انبساط هارمونیک کروی کوتاه مدل ژئوپتانسیل گرانشی زمین).

سهمی گون

در هندسه ، سمی گون یا پارابولوئید یک سطح چهارگانه است که دقیقاً یک محور تقارن دارد و مرکز تقارن ندارد. اصطلاح "پارابولوئید" از سهمی مشتق شده است که به بخش مخروطی اطلاق می شود که خاصیت تقارن مشابهی دارد.

سهمی گون دورانی،این سهمی گون شبیه یک مخروط است(تقریبا حجم آن برابر با حجم مخروط است فقط با تفاوت جزئی که دارای یک زیر سطح منحنی است.)

هر مقطع صفحه ای از یک پارابولوئید با صفحه ای موازی با محور تقارن یک سهمی است. سهمی هذلولی است اگر هر بخش صفحه دیگر یا هذلولی باشد یا دو خط متقاطع (در مورد مقطعی با صفحه مماس). سهمی بیضوی است اگر هر بخش صفحه غیر خالی دیگر بیضی یا یک نقطه باشد (در مورد مقطعی با صفحه مماس). پارابولوئید یا بیضوی یا هذلولی است.

به طور معادل، یک پارابولوئید ممکن است به عنوان یک سطح چهارگانه تعریف شود که یک استوانه نیست ، و دارای یک معادله ضمنی است که بخشی از درجه دو ممکن است بر روی اعداد مختلط به دو عامل خطی مختلف تبدیل شود. اگر عوامل واقعی باشند، پارابولوئید هذلولی است. بیضوی اگر عوامل مزدوج پیچیده باشند.

یک پارابولوئید بیضوی مانند یک فنجان بیضی شکل است و زمانی که محور آن عمودی باشد دارای حداکثر یا حداقل نقطه است. در یک سیستم مختصات مناسب با سه محور x , y و z می توان آن را با معادله

$z={\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}.$

که در آن a و b ثابت هایی هستند که به ترتیب سطح انحنا را در صفحات xz و yz دیکته می کنند . در این موقعیت، پارابولوئید بیضوی به سمت بالا باز می شود.

سهمی گون منحنی(معادله این سهمی گون پیچیده است)

یک سهمی گون هذلولی مانند(با هذلولی گون اشتباه نشود) سطحی است که به شکل یک زین شکل دوگانه دارد . در یک سیستم مختصات مناسب، یک سهمی هذلولی را می توان با معادله

$z={\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}.$

در این موقعیت، سهمی هذلولی به سمت پایین در امتداد محور x و به سمت بالا در امتداد محور y باز می شود (یعنی سهمی در صفحه x = 0 به سمت بالا باز می شود و سهمی در صفحه y = 0 به سمت پایین باز می شود).

هر سهمی (بیضوی یا هذلولی) یک سطح ترجمه است ، زیرا می تواند توسط یک سهمی متحرک که توسط یک سهمی دوم هدایت می شود ایجاد شود.

هذلولی گون

در هندسه، «هیپربولوئید انقلاب» که گاهی اوقات «هیپربولوئید دایره‌ای» نامیده می‌شود، سطحی است که از چرخش یک هذلولی حول یکی از محورهای اصلی آن ایجاد می‌شود. "هیپربولوئید" سطحی است که از یک هیپربولوئید چرخشی با تغییر شکل آن به وسیله پوسته پوسته شدن جهت یا به طور کلی تر، یک تبدیل افین بدست می آید. هایپربولوئید یک سطح چهارگانه است، یعنی سطحی که به عنوان مجموعه صفر یک چند جمله ای درجه دو در سه متغیر تعریف می شود. در میان سطوح چهارگانه، یک هایپربولوئید به این صورت است که مخروط یا استوانه نیست، مرکز تقارن دارد و صفحات زیادی را به صورت هذلولی قطع می کند. هایپربولوئید دارای سه محور تقارن عمود بر زوج و سه صفحه تقارن عمود بر زوج است. با توجه به هذلولوئید، اگر سیستم مختصات دکارتی را انتخاب کنیم که محورهای آن محورهای تقارن هیپربولوئید و مبدأ آن مرکز تقارن هیپربولوئید باشد، آنگاه هیپربولوئید ممکن است با یکی از دو معادله زیر تعریف شود: : ${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=1,$ یا : ${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=-1.$ هر دو سطح مجانبی به مخروط معادله هستند : ${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=0.$ سطح هیپربولوئیدی از چرخش است اگر و فقط اگر $a^{2}=b^{2}.$ در غیر این صورت، محورها به طور منحصر به فردی تعریف می شوند (تا مبادله محور x- و ' محور 'y'). دو نوع هیپربولوئید وجود دارد. در حالت اول (+1 در سمت راست معادله): یک «هیپربولوئید یک صفحه‌ای» که «هیپربولوئید هیپربولیک» نیز نامیده می‌شود. این یک سطح متصل است که در هر نقطه دارای انحنای گاوسی منفی است. این بدان معناست که در نزدیکی هر نقطه، تقاطع هیپربولوئید و صفحه مماس آن در نقطه شامل دو شاخه منحنی است که دارای مماس های متمایز در نقطه هستند. در مورد هایپربولوئید یک ورق، این شاخه های منحنی خطوط هستند و بنابراین هایپربولوئید یک ورق یک سطح دوگانه است. در حالت دوم (-1 در سمت راست معادله): "هپربولوئید دو صفحه ای" که "هپربولوئید بیضوی" نیز نامیده می شود. سطح دارای دو جزء متصل و یک انحنای گاوسی مثبت در هر نقطه است. بنابراین سطح محدب است به این معنا که صفحه مماس در هر نقطه سطح را فقط در این نقطه قطع می کند.

مداد مخروطی

مخروط (غیر منحط) به طور کامل توسط پنج نقطه در موقعیت کلی (بدون سه خط خطی ) در یک صفحه تعیین می شود و سیستم مخروطی هایی که از یک مجموعه ثابت از چهار نقطه (دوباره در یک صفحه و بدون سه خط خطی) عبور می کنند نامیده می شود. مداد مخروطی. چهار نقطه مشترک را نقاط پایه مداد می نامند. از هر نقطه ای غیر از یک نقطه پایه، یک مخروط واحد از مداد عبور می کند. این مفهوم یک مداد از دایره ها را تعمیم می دهد .

کاربرد

مقاطع مخروطی در نجوم مهم هستند : مدار دو جرم عظیم که بر اساس قانون گرانش جهانی نیوتن برهم کنش دارند، اگر مرکز جرم مشترک آنها در حالت سکون در نظر گرفته شود، مقاطع مخروطی هستند. اگر آنها به هم متصل شوند، هر دو بیضی را ردیابی می کنند. اگر از هم دور شوند، هر دو از سهمی ها یا هذلولی ها پیروی می کنند. مشکل دو تنه را ببینید .

از خواص بازتابی مقاطع مخروطی در طراحی نورافکن ها، رادیو تلسکوپ ها و برخی تلسکوپ های نوری استفاده می شود. یک نورافکن از یک آینه سهموی به عنوان بازتابنده، با یک لامپ در کانون استفاده می کند. و ساختار مشابهی برای میکروفون سهموی استفاده می شود . تلسکوپ نوری 4.2 متری هرشل در لا پالما، در جزایر قناری، از یک آینه سهموی اولیه برای انعکاس نور به سمت یک آینه هذلولی ثانویه استفاده می کند، که دوباره آن را به کانونی در پشت آینه اول منعکس می کند.

تعمیم

مخروط ها ممکن است بر روی فیلدهای دیگر (یعنی در سایر هندسه های پاپی ) تعریف شوند. با این حال، زمانی که فیلد دارای مشخصه 2 است، باید کمی دقت کرد، زیرا برخی از فرمول ها را نمی توان استفاده کرد. به عنوان مثال، نمایش های ماتریسی استفاده شده در بالا نیاز به تقسیم بر 2 دارند.

تعمیم یک مخروط غیر انحطاط در یک صفحه نمایشی یک بیضی است. بیضی مجموعه نقطه ای است که دارای ویژگی های زیر است که توسط مخروط ها حفظ می شود: 1) هر خطی بیضی را در هیچ یک، یک یا دو نقطه قطع نمی کند، 2) در هر نقطه از بیضی یک خط مماس منحصر به فرد وجود دارد.

تعمیم ویژگی های کانونی مخروط ها به مواردی که بیش از دو کانون وجود دارد مجموعه هایی به نام مخروط های تعمیم یافته تولید می کند .

محل تقاطع یک مخروط بیضوی با یک کره یک مخروط کروی است که خواص زیادی با مخروط های مسطح دارد.

منابع

این فهرست منابع معتبر کتابی و آنلاین است که برای نوشتن این کتاب از آنها استفاده شده است

• ویکی پدیای فارسی
• ویکی پدیای انگلیسی
• ریاضیات پیشرفته
• هندسه۳پایه دوازدهم
• ریاضی۳پایه دوازدهم
• هندسه۱پایه دهم
• ریاضیات پایه نهم
• ریاضیات۱پایه دهم ریاضی