نگاهی به ریاضیات پیشرفته/نسخه چاپی

نگاهی به ریاضیات پیشرفته

نسخه کنونی و قابل ویرایش این کتاب را می‌توانید در وبگاه ویکی‌کتاب در نشانی زیر بیابید
https://fa.wikibooks.org/wiki/%D9%86%DA%AF%D8%A7%D9%87%DB%8C_%D8%A8%D9%87_%D8%B1%DB%8C%D8%A7%D8%B6%DB%8C%D8%A7%D8%AA_%D9%BE%DB%8C%D8%B4%D8%B1%D9%81%D8%AA%D9%87

شما اجازه کپی و پخش این اثر را تحت مجوز مستندات آزاد گنو دارید.

مقدمه

ریاضیات یکی از بهترین علم در جهان است که بعد از آن علوم طبیعی است.دراین کتاب به مبحث‌های پیشرفته و پیچیده ریاضی می‌پردازیم. این علم سرآمد تمامی علم هاست و ریاضیات در فیزیک، شیمی، مهندسی، نجوم، معماری و... بسیار کاربردی است.

ریاضیات از دور سخت است ولی اگر نزدیکش بروی هیچ سخت نیست.

دراین کتاب به مباحث‌های پیشرفته و پیچیده ریاضی می‌پردازیم. ما در این کتاب به مباحثی چون ریاضیات، حسابان، هندسه و آنالیز می پردازیم و مفاهیم مهم، شاخه‌های ریاضیات، زمینه‌های پژوهش و ... را بررسی می‌کنیم. این ایبوک هم نسخه چاپی هم دارد و به صورت مشارکت گروهی است.

تعریف ریاضیات

ریاضیات یا انگارش فن محاسبه اعداد بوده و نیز به مطالعهٔ مباحثی چون کمیت (نظریه اعداد)، ساختار (جبر)، فضا (هندسه)، و تغییرات (آنالیز ریاضیات) می‌پردازد. در حقیقت تعریفی جهانی که همه بر سر آن توافق داشته باشند برای ریاضیات وجود ندارد.

بیشتر فعالیت های ریاضی شامل کشف و اثبات ویژگی های اشیاء انتزاعی با استدلال محض است. این اشیاء یا انتزاعی از طبیعت هستند، مانند اعداد یا خطوط طبیعی ، یا - در ریاضیات مدرن - موجوداتی هستند که دارای ویژگی‌های خاصی هستند که بدیهیات نامیده می‌شوند . یک برهان متشکل از مجموعه ای از کاربردهای برخی قوانین قیاسی برای نتایج شناخته شده از قبل، از جمله قضایای اثبات شده قبلی ، بدیهیات و (در صورت انتزاع از طبیعت) برخی ویژگی های اساسی است که به عنوان نقطه شروع واقعی نظریه مورد بررسی در نظر گرفته می شوند. نتیجه یک برهان را قضیه می گویند.

ریاضیات به طور گسترده ای در علم برای مدل‌سازی پدیده ها استفاده می شود. این امکان استخراج پیش بینی های کمی از قوانین تجربی را فراهم می کند. به عنوان مثال، حرکت سیارات را می توان با استفاده از قانون گرانش نیوتن همراه با محاسبات ریاضی به طور دقیق پیش بینی کرد. استقلال حقیقت ریاضی از هر آزمایشی دلالت بر این دارد که صحت چنین پیش‌بینی‌هایی تنها به کفایت مدل برای توصیف واقعیت بستگی دارد. پیش‌بینی‌های نادرست مستلزم نیاز به بهبود یا تغییر مدل‌های ریاضی است، نه اینکه ریاضیات در خود مدل‌ها اشتباه است. برای مثال، تقدم حضیض عطارد را نمی توان با قانون گرانش نیوتن توضیح داد، اما به طور دقیق توسط قانون گرانش نیوتن توضیح داده می شود. نسبیت عام اینشتین _ این تایید تجربی نظریه انیشتین نشان می دهد که قانون گرانش نیوتن تنها یک تقریب است، هرچند در کاربردهای روزمره دقیق است.

ریاضیات در بسیاری از زمینه‌ها از جمله علوم طبیعی ، مهندسی ، پزشکی ، مالی ، علوم کامپیوتر و علوم اجتماعی ضروری است . برخی از حوزه های ریاضیات، مانند آمار و تئوری بازی ها، در ارتباط نزدیک با کاربردهای آنها توسعه یافته اند و اغلب در زیر ریاضیات کاربردی گروه بندی می شوند . سایر حوزه‌های ریاضی مستقل از هر کاربرد توسعه می‌یابند (و بنابراین ریاضیات محض نامیده می‌شوند )، اما کاربردهای عملی اغلب بعداً کشف می‌شوند.  یک مثال مناسب مسئله فاکتورسازی اعداد صحیح، که به اقلیدس برمی‌گردد، اما قبل از استفاده در سیستم رمزنگاری RSA (برای امنیت شبکه‌های کامپیوتری) کاربرد عملی نداشت.

از نظر تاریخی، مفهوم برهان و دقت ریاضی مرتبط با آن برای اولین بار در ریاضیات یونان ظاهر شد، به ویژه در عناصر اقلیدس.  از آغاز، ریاضیات اساساً به هندسه ، و حساب (دستکاری اعداد و کسرهای طبیعی ) تقسیم شد تا اینکه در قرن 16 و 17، جبر  و حساب بی نهایت کوچک به عنوان حوزه‌ای جدید معرفی شدند. از آن زمان، تعامل بین نوآوری های ریاضی و اکتشافات علمی به رشد سریع ریاضیات منجر شده است. در پایان سده نوزدهم، بحران اساسی ریاضیات منجر به نظام‌بندی روش بدیهی شد. این به نوبه خود باعث افزایش چشمگیر تعداد حوزه های ریاضی و زمینه های کاربردی آنها شد. نمونه ای از این طبقه بندی موضوع ریاضیات است که بیش از شصت حوزه سطح اول ریاضیات را فهرست می کند.

تاریخ

لوح ریاضیاتی بابلیان، پلیمپتون ۳۲۲، مربوط به ۱۸۰۰ قبل از میلاد است.

ارشمیدس از روش افنا برای تقریب مقدار عدد پی استفاده کرد.

سیستم عددی استفاده شده در دستنویس بخشالی (مربوط به ریاضیات هند) که بر می‌گردد به سده دوم قبل از میلاد و سده دوم پس از میلاد.

تاریخ ریاضیات را می‌توان به عنوان دنباله‌ای از تجرید سازی‌های فزاینده دید. اولین قابلیت تجرید سازی که در بسیاری از حیوانات مشترک است، احتمالاً مفهوم عدد است: فهم این مطلب که مجموعه دو سیب و مجموعه دو پرتقال (به عنوان مثال) با هم اشتراکی دارند، و آن کمیت تعدادشان است.

همان‌طور که شواهد بر روی چوب‌خط نشان می‌دهد، مردم پیشاتاریخ می‌توانستند اشیاء فیزیکی را بشمرند و توانایی شمردن اشیاء تجریدی مثل روز، فصل و سال را نیز داشتند.

شواهد مربوط به ریاضیات پیچیده‌تر تا ۳۰۰۰ قبل میلاد مشاهده نشده، زمانی که بابلی‌ها و مصری‌ها شروع به استفاده از حساب، جبر و هندسه برای محاسبات مربوط به مالیات و دیگر مفاهیم اقتصادی، و ساخت و ساز یا نجوم کردند. قدیمی‌ترین متون ریاضیاتی مربوط به بین‌النهرین و مصر می‌شود که به ۲۰۰۰–۱۸۰۰ قبل از میلاد بازمی‌گردد. بسیاری از متون اولیه سه تایی‌های فیثاغوری را ذکر کرده و لذا به نظر می‌رسد که قضیه فیثاغورس

این قضیه بارها به روش‌های مختلف هندسی و جبری اثبات شده‌است که برخی از این اثبات‌ها به هزاران سال گذشته برمیگردند.</ref> کهن‌ترین و گسترده‌ترین توسعه ریاضیاتی بعد از حساب مقدماتی و هندسه باشد. در اسناد تاریخی، در ریاضیات بابلی‌ها بود که حساب مقدماتی (جمع، تفریق، ضرب و تقسیم) ابتدا پدیدار گشت. بابلی‌ها همچنین از یک دستگاه مکان-ارزشی بهره می‌جستند که در آن دستگاه اعداد پایه ۶۰ پیاده‌سازی شده بود، ازین دستگاه عددی هنوز هم برای اندازه‌گیری زاویه و زمان استفاده می‌شود.

با آغاز سده ششم قبل از میلاد مسیح، ریاضیات یونانی‌ها با فیثاغورسی‌ها مطالعهٔ نظام مندی را در ریاضیات، به هدف شناخت بیشتر خود ریاضیات آغاز نمودند که سرآغاز ریاضیات یونانی‌ها بود. حدود ۳۰۰ قبل از میلاد، اقلیدس روش اصول موضوعه ای را که هنوز هم در ریاضیات به کار می‌رود را معرفی کرد که شامل تعاریف، اصول، قضیه و اثبات بود. کتاب مرجع او که به اصول اقلیدس معروف است به‌طور گسترده به عنوان موفق‌ترین و تأثیر گذارترین کتاب مرجع همه زمان‌ها شناخته می‌شود. بزرگترین ریاضیدانان باستان را اغلب ارشمیدس (۲۸۷ تا ۲۱۲ قبل از میلاد) اهل سیراکوز می‌دانند.او فرمول‌هایی برای محاسبهٔ مساحت و حجم اجسام در حال دوران پیدا کرد و از روش افنا برای محاسبه مساحت زیر منحنی سهمی با استفاده از جمع یک سری بی‌نهایت استفاده کرد به گونه ای که بی شباهت با حساب دیفرانسیل و انتگرال مدرن نیست. دیگر دستاوردهای قابل توجه در ریاضیات یونان مقاطع مخروطی (آپولونیوس اهل پرگا، سده سوم قبل از میلاد)، مثلثات (هیپارکوس اهل نیکا (سده دوم قبل از میلاد))، و آغاز جبر (دیوفانتوس، سده سوم پس از میلاد) بود.

سیستم عددی هندو-عربی و قواعد استفاده از عملیاتش که امروزه در سراسر جهان استفاده می‌شود، در طی هزارهٔ اول میلادی در هند توسعه یافت و سپس از طریق ریاضیات اسلامی به جهان غرب انتقال یافت. دیگر پیشرفت‌های مربوط به ریاضیات هندی‌ها شامل تعریف مدرن سینوس و کسینوس و فرم اولیه سری‌های بی‌نهایتی است.

صفحه ای از کتاب جبر خوارزمی

در طی عصر طلایی اسلام، که در سده نهم و دهم میلادی شکل گرفت، ریاضیات نوآوری‌های مهمی را به خود دید که بر اساس ریاضیات یونانی‌ها پایه‌ریزی شده بود. مهم‌ترین دستاوردهای ریاضیات اسلامی توسعهٔ جبر بود. دیگر دستاوردهای مهم ریاضیات دورهٔ اسلامی پیشرفت در مثلثات کروی و اضافه شدن اعشار به سیستم عددی عربی بود. بسیاری از ریاضیدانان این دوره فارسی‌زبان بودند مثل خوارزمی، خیام و شرف الدین توسی.

در طی اوایل عصر مدرن، ریاضیات شروع به توسعه شتابداری در غرب اروپا کرد. توسعه حساب دیفرانسیل و انتگرال توسط نیوتون و لایبنیز در سده هفدهم میلادی ریاضیات را متحول کرد. لئونارد اویلر مهم‌ترین ریاضیدان سده هجدهم میلادی بود که چندین قضیه و کشفیات را به ریاضیات افزود. شاید مهم‌ترین ریاضیدانان سده نوزدهم میلادی ریاضیدان آلمانی کارل فردریش گاوس بود که خدمات متعددی به شاخه‌های مختلف ریاضیات چون جبر، آنالیز، هندسه دیفرانسیل، نظریه ماتریس، نظریه اعداد و آمار کرد. در اوایل سده بیستم میلادی، کورت گودل، ریاضیات را با انتشار قضایای ناتمامیت خویش دچار تغییر کرد. این قضایا نشان دادند که هر سیستم اصول موضوعه سازگاری شامل گزاره‌های غیرقابل اثبات اند.

ریاضیات از آن زمان به‌طور گسترده‌ای توسعه یافته‌است و کنش و واکنش‌های ثمربخشی بین ریاضیات و علوم ایجاد شده که به نفع هردو است. کشفیات ریاضیات تا به امروز نیز ادامه دارد. بر اساس نظر میخائیل سوریوک، که در ژانویه ۲۰۰۶ در بولتن انجمن ریاضی آمریکا منتشر شد، "تعداد مقالات و کتب پایگاه اطلاعاتی ژورنال Mathematical Review از سال ۱۹۴۰ (اولین سال عملیاتی شدن MR) اکنون به ۱٫۹ میلیون می‌رسد که سالانه بیش از ۷۵ هزار مورد به این پایگاه افزوده می‌شود. اکثریت کارهای گسترده‌ای که در این اقیانوس وجود دارد شامل قضایای جدید ریاضیاتی و اثبات‌هایشان است.

چند اصطلاح مرتبط با ریاضیات

• ریاضیات کاربردی

• ریاضیات محض

• علوم ریاضیات

منابع

ویکی پدیای فارسی

ویکی پدیای انگلیسی

فلسفه ریاضیات

فلسفهٔ ریاضیات (به انگلیسی: Philosophy of mathematics)، شاخه‌ای از فلسفه است که به بنیادهای وجودیِ ریاضیات و مباحث مربوط به معرفت‌شناسی ریاضیات می‌پردازد. از مکتب‌های فلسفهٔ ریاضی می‌توان به منطق‌گرایی، شهودگرایی، صورت‌گرایی و افلاطون‌گرایی اشاره کرد.

مکاتب فلسفه ریاضی

منطق‌گرایی

آموزه منطق‌گرایی عبارت از این است که مفاهیم و قضایای ریاضی به مفاهیم و قضایای منطقی فروکاهیده شود. نظریه کانت دربارهٔ ریاضیات دچار انتقاداتی بود که به ظهور منطق‌گرایی نزد برنارد بولتسانو انجامید.

شهودگرایی

لویتزن اگبرتوس ژان براوئر که مختصراً براوئر نیز نامیده می‌شود ریاضیدان و فیلسوف هلندی است که نام شهودگرایی در ریاضیات را بر سر زبان‌ها انداخت. بر اساس شهود‌گرایی، ریاضیات مخلوق ذهن است و صدق‌های جملات گزاره‌های ریاضی صرفاً می‌توانند از طریق ساختارهای ذهنی ای درک و فهمیده شوند که اثبات می‌کند آن گزاره صادق است و ارتباط بین ریاضی دانان صرفاً وسیله ای است که می‌تواند فرایندهای ذهنی یکسانی در اذهان گوناگون را به وجود آورد.

صورت‌گرایی

در این دیدگاه ریاضیات علم نیست، زیرا موضوع مادی مورد مطالعه ندارد، مفروضاتی شهودی و بینشی ندارد تا بتواند به آنها تعبیری بدهد. ریاضیات یک زبان است. ریاضیات وسیله فرمول‌بندی کردن و توسعه نظریه‏‌های علمی است. فرمالیسم یا همان صورت‌گرایی ریاضی عنوانی است که به نظریه دیوید هیلبرت داده شده است، چرا که در صورت‌گرایی تکیه بر جنبهٔ صوری ریاضیات در مقابل معنی یا محتواست و کمابیش مبتنی بر انکار محتوا برای فرمول‌های ریاضی است. هیلبرت اساساً سعی داشت تا ریاضیات را بر پایه‌‏های صرفاً صوری واصل موضوعی استوار سازد. در این دیدگاه، صدق یک نظریهٔ ریاضی بدین معنی است که آن نظریه تناقضی به بار نیاورد و منجر به تناقض نگردد. صورت‌گرایان برخلاف منطق‌گرایان بنیاد ریاضیات را نه در منطق، بلکه صرفاً در مجموعه‏‌ای از نمادهای صوری می‏‌دانند، آنگاه ریاضیات را یک نظام صوری متشکل از احکام ریاضی که تنهادارای صورت هستند، می‏‌انگارند.

پرسش‌ها

از جمله پرسش‌هایی که فلسفهٔ ریاضی، کوشش در پاسخ به آن دارد، این‌ها است:

• منشأ موضوعات ریاضی چه هستند؟
• وضعیت وجودی مفاهیم ریاضی چیست؟
• اشاره به یک شیء ریاضی به چه معناست؟
• شخصیت یک گزارهٔ ریاضی چیست؟
• رابطهٔ بین منطق و ریاضیات چیست؟
• نقش هرمنوتیک در ریاضیات چیست؟
• تحقیق ریاضی به چه معناست و چگونه ممکن است؟
• چه چیزی باعث توانایی ریاضی در تبیین تجربیات می‌شود؟
• نقش ذهن انسان در تولید ریاضیات چیست؟
• زیبایی ریاضی به چه معناست؟
• منبع و ماهیت حقیقت ریاضی چیست؟
• چه رابطه‌ای بین جهان انتزاعی ریاضیات و جهان مادی وجود دارد؟

در آغاز قرن بیستم، سه مکتب فلسفهٔ ریاضی برای پاسخ‌گوئی به این‌گونه پرسش‌ها به‌وجود آمد. این سه مکتب به نام‌های شهودگرایی و منطق‌گرایی و صورت‌گرایی معروف‌اند.

منابع

ویکی پدیای فارسی

جوایز ریاضیات

جوایز ریاضیات شامل مدال فیلدز (نوبل ریاضی)، جایزه وولف و ... است.

جایزه فیلدز

مدال فیلدز جایزه‌ای است که به دو، سه یا چهار ریاضیدان زیر ۴۰ سال در کنگره بین‌المللی اتحادیه بین‌المللی ریاضی (IMU) اهدا می‌شود، نشستی که هر چهار سال یکبار برگزار می‌شود. نام این جایزه به افتخار ریاضیدان کانادایی جان چارلز فیلدز است.

مدال فیلدز یکی از بالاترین افتخاراتی است که یک ریاضیدان می‌تواند دریافت کند، و به عنوان جایزه نوبل ریاضیات توصیف شده است، اگرچه چندین تفاوت عمده وجود دارد، از جمله فراوانی جایزه، تعداد جوایز، محدودیت‌های سنی، ارزش پولی، و معیارهای جایزه.  طبق نظرسنجی سالانه تعالی دانشگاهی توسط ARWU، مدال فیلدز به طور مداوم به عنوان بهترین جایزه در زمینه ریاضیات در سراسر جهان در نظر گرفته می‌شود،  و در نظرسنجی دیگری که توسط IREG در سال ۲۰۱۳-۲۰۱۴ انجام شد، مدال فیلدز به دست آمد. بعد از جایزه هابیلبه عنوان دومین جایزه معتبر بین‌المللی در ریاضیات.

این جایزه شامل یک جایزه پولی است که از سال ۲۰۰۶، ۱۵۰۰۰ دلار کانادا بوده است.  فیلدز در ایجاد جایزه، طراحی مدال خود، و تأمین مالی بخش پولی نقش داشت، اگرچه او قبل از تأسیس آن مرد و برنامه‌اش توسط جان لایتون سینج نظارت شد.

این مدال برای اولین بار در سال ۱۹۳۶ به ریاضیدان فنلاندی لارس آلفورس و ریاضیدان آمریکایی جسی داگلاس اعطا شد و از سال ۱۹۵۰ هر چهار سال یکبار اعطا می‌شود. هدف آن شناسایی و حمایت از محققان ریاضی جوانتر است که سهم عمده‌ای داشته‌اند. در سال ۲۰۱۴، مریم میرزاخانی ریاضیدان ایرانی اولین زن مدال آور فیلدز شد.  در مجموع، ۶۴ نفر مدال فیلدز را دریافت کرده‌اند.

جدیدترین گروه مدال آوران فیلدز جوایز خود را در ۵ ژوئیه ۲۰۲۲ در یک رویداد آنلاین دریافت کردند که از هلسینکی، فنلاند به صورت زنده پخش شد. در ابتدا قرار بود در سن پترزبورگ روسیه برگزار شود، اما پس از تهاجم روسیه به اوکراین در سال ۲۰۲۲ منتقل شد .

جایزه وولف

جایزه ولف در ریاضی از ۱۹۷۸ تقریباً هرساله در اسرائیل اعطا می‌شود. وبسایت بنیاد ولف جایزه را سالانه می‌خواند ولی برخی جایزه‌ها در بعضی سالها داده نشده و در بعضی سالها تقسیم شده‌است تا پیش از ایجاد جایزه آبل این جایزه نزدیکترین معادل جایزه نوبل در ریاضی بود زیرا جایزه پرافتخارتر مدال فیلدز تنها هر ۴ سال یک بار به ریاضیدانان زیر ۴۰ سال داده می‌شود.

جایزه آبل

جایزهٔ آبل (به انگلیسی: Abel Prize) جایزه‌ای است بین‌المللی که هر ساله توسط شاه نروژ به یک یا چند ریاضی‌دان که کار ارزنده‌ای در ریاضیات انجام داده باشد، داده می‌شود. این جایزه به افتخار ریاضیدان نروژی نیلس هنریک آبل (۱۸۲۹–۱۸۰۲) نامگذاری شده در سال ۲۰۰۱ توسط دولت نروژ بنیان‌گذاری شد.

منابع

ویکی پدیای فارسی

شاخه‌های ریاضیات

شاخه های ریاضیات مربوط به علم هایی است که مربوط به ریاضیات نظری، پایه هستند، ریاضیات بیش از علوم طبیعی شاخه مختلف دارد مثل (حساب، حسابان، هندسه، آمار و احتمال، جبر و معادله، نظریه اعداد، آنالیز ریاضی و...) است.

حساب

حِساب شاخه ای از ریاضیات است که شامل مطالعه اعداد، به‌خصوص خواص عملیات سنتی روی آن ها یعنی جمع، تفاضل(تفریق)، ضرب و تقسیم می باشد. حساب قسمت مقدماتی نظریه اعداد می باشد و نظریه اعداد امروزه به عنوان یکی از اصلی ترین شاخه های ریاضیات (که جایگاه آن در بالاترین قسمت درخت تقسیم بندی گرایش های ریاضی قرار دارد) در نظر گرفته می شود. در کنار نظریه اعداد جبر، هندسه و آنالیز نیز جزو این شاخه های اصلی قرار دارند. عبارت حساب و حساب مرتبه بالاتر تا اوایل قرن بیستم به عنوان کلمه هم معنی نظریه اعداد به کار برده می شد و هنوز هم برای اشاره به قسمت اعظم نظریه اعداد به کار برده می شود.

ریاضیات کاربردی

ریاضیات کاربردی شاخه‌ای از ریاضیات است که از یک سو به کاربرد ریاضیات در رشته‌های دیگر (مدل) می‌پردازد، و از سوی دیگر سعی دارد مبانی نظری ریاضیات محض را به مبانی عملی نزدیک‌تر کند و به عنوان پلی بین ریاضیات محض و علوم کاربردی عمل کند. از زمینه‌های مختلف آن، می‌توان به آنالیز عددی، نظریهٔ معادلات دیفرانسیل، بهینه‌سازی، نظریه اطلاعات، نظریه بازی‌ها و فیزیک ریاضی اشاره کرد.معمولاً به واسطهٔ مدل‌های ریاضی ست که ریاضیّات را به زمینه‌های دیگر اعمال می‌کنند. به عنوان زیر شاخه‌های مهم ریاضیّات کاربردی، می‌شود از تحقیق در عملیات، دینامیک سیّالات، نسبیّت عددی (numerical relativity)، و معادلات ماکسول نام برد. همچنین بخش‌های مهمی از مباحث مربوط به علوم کامپیوتر و آمار و احتمال نیز در این شاخه مورد بحث قرار می‌گیرند. بخش عظیمی از ریاضیات گسسته نیز در ارتباط تنگاتنگ با بخش‌هایی از ریاضیات کاربردی است.

ریاضیات محض

ریاضیات محض یا ریاضیات نظری (به انگلیسی: Pure Mathematics) به مطالعه مفاهیم ریاضیاتی مستقل از هر نوع کاربرد خارج از دایره ریاضیات می پردازد. این مفاهیم ممکن است از دغدغه های جهان واقعی نشأت گرفته باشند، و نتایج آن بعدها برای کاربرد های عملی مفید واقع شوند، اما ریاضیات محض ابتداءً از چنان کاربردهای عملی انگیزه نمی گیرد. در مقابل، جذابیت رهیافت محض در ریاضی مربوط به چالش‌ها و جنبه‌های زیباشناختی مفاهیم منطقیست. مفاهیمی که خود پیامدهایی از اصول پایه ای تری می باشند.

در حالی که ریاضیات محض به عنوان یک فعالیت از زمان یونان باستان وجود داشته است، اما تحول و جنبه های استادانه ی آن در حدود ۱۹۰۰ میلادی ظهور پیدا کرد، بعد از این که نظریه هایی با خواص ضد شهودی (مثل هندسه های غیر-اقلیدسی و نظریه کانتور مجموعه های نامتناهی)، و پارادوکس های ظاهری (چون توابع پیوسته ای که هیچ جا دیفرانسیل پذیر نیستند، و پارادوکس راسل) کشف شدند. این پدیده ها نیاز به تجدید مفهوم ریاضیات استوار (یا ریاضیات دقیق و سفت و سخت) و بازنویسی تمام ریاضیات بر اساس آن شد، به گونه ای که استفاده سیستماتیک از روش های اصول موضوعه ای ترویج پیدا کرد. این مسئله منجر به این شد که بسیاری از ریاضی دانان بر روی ریاضیات به خودی خود، یعنی ریاضیات محض متمرکز شوند.

اکنون ایجاد مرز مشخصی بین ریاضیات محض و کاربردی بیشتر جنبه فلسفی داشته یا مربوط به ترجیحات یک ریاضیدان خاص می شود و نمی توان به طور استوار و دقیق مرزشان را در ریاضیات تعیین کرد. به طور خاص، اتفاق عجیبی نخواهد بود اگر یک عضو دانشکده ریاضیات کاربردی خود را به عنوان ریاضیدان محض معرفی کند.

حسابان

حسابان (یا حساب دیفرانسیل و انتگرال)، که در گذشته به آن حساب بی‌نهایت‌کوچک‌ها می گفتند شاخه‌ای از ریاضی است. همان‌گونه که هندسه مطالعه‌ی اشکال و جبر تعمیم عملیات حساب (چهار عمل اصلی) است، حسابان به مطالعه‌ی ریاضیاتی تغییرات پیوسته می پردازد.

حسابان دارای دو شاخه: حساب دیفرانسیل و حساب انتگرالی است. حساب دیفرانسیل به مطالعه نرخ تغییرات و شیب منحنی‌ها پرداخته در حالی که حساب انتگرالی به تجمع مقادیر و نواحی تحت منحنی‌ها می‌پردازد. این دو شاخه توسط قضیه‌ی اساسی حسابان، به یک دیگر مرتبط شده و از مفاهیم بنیادی همگرایی دنباله ها و سری‌های نامتناهی به یک حد خوش تعریف استفاده می‌کنند.

حساب بی‌نهایت‌ کوچک‌ها به طور مستقل در اواخر قرن هفدهم میلادی توسط ایزاک نیوتون و گوتفرید ویلهلم لایبنیز توسعه یافت. امروزه حسابان در علوم، مهندسی و اقتصاد کاربردهای گسترده‌ای پیدا کرده است.

در آموزش ریاضی، حسابان نشانگر درسی مقدماتی از آنالیز ریاضی است که به طور عمده به مطالعه توابع و حدود می‌پردازد. کلمه حسابان (جمع آن calculi است) یک کلمه لاتین است که معنای اصلی آن سنگ کوچک است. به دلیل این که از تکه های سنگ برای محاسبات استفاده می کردند، معنای این کلمه تکامل یافته و این کاربرد را پیدا کرد. این موضوع شامل موارد دیگری از جمله حساب گزاره‌ای، حساب ریچی، حساب تغییرات، حساب لامبدا و حساب فرآیندی نیز می شود.

هندسه

هِندِسه (به یونانی: γεωμετρία، تلفظ: geometria، معنی: زمین‌سنجی)؛ ژِئو «زمین»، مِتریا «سنجش، اندازه‌گیری») شاخه‌ای از ریاضیات است که با شکل، اندازه، موقعیت نسبی شکل‌ها و ویژگی‌های فضا سروکار دارد. ریاضیدانی که در شاخهٔ هندسه کار می‌کند هندسه‌دان نامیده می‌شود. هندسه به‌طور مستقل در پاره‌ای از تمدن‌های اولیه به شکل بدنه‌ای از دانش عملی در مورد طول، مساحت و حجم ظهور کرد و پایه‌ریزی آن به عنوان یک دانش رسمی ریاضی در زمان تالس (قرن ششم پیش از میلاد) در غرب آغاز شد. در قرن سوم پیش از میلاد، هندسه توسط اقلیدس به شکل اصل موضوعی درآمده بود و کار اقلیدس (هندسه اقلیدسی) استانداردی را پایه‌ریزی نمود که قرن‌ها دنبال شد. ارشمیدس روش‌های هوشمندانه‌ای برای محاسبهٔ مساحت و حجم ارائه داد که در بسیاری موارد پیش‌رو حساب انتگرال جدید محسوب می‌شوند. دانش اخترشناسی و به ویژه نگاشتن مکان ستاره‌ها و سیاره‌ها روی کره آسمان و توصیف رابطهٔ بین حرکت اجسام آسمانی تا هزار و پانصد سال بعد منشا بسیاری از پرسش‌های هندسی بود. هر دوی هندسه و اخترشناسی در دنیای کلاسیک بخشی از کوادریویم بودند که خود زیرمجموعه‌ای از علوم مقدماتی هفتگانه بود که یادگیری آن‌ها برای هر شهروند آزادی ضروری می‌نمود.

آمارواحتمال

آمار

آمار شاخه‌ای از ریاضیات است که به گردآوری، تحلیل، و ارائه داده‌ها می‌پردازد. آمار را باید علم استخراج و توسعهٔ دانشهای تجربی انسانی با استفاده از روش‌های گردآوری و تحلیل داده‌های تجربی (حاصل از اندازه‌گیری و آزمایش) دانست. روش‌های محاسباتی جدیدتر توسط رایانه همچون یادگیری ماشینی، و کاوش‌های ماشینی در داده‌ها، در واقع، امتداد و گسترش دانش آمار به عهد محاسبات نو و دوران اعمال شیوه‌های ماشینی بوده و امروزه علم آمار را به علم بیان علوم دیگر مبدل ساخته‌است.

احتمال

به‌طور ساده، احتمالات به شانس وقوع یک حادثه گفته می‌شود.احتمال معمولاً مورد استفاده برای توصیف نگرش ذهن نسبت به گزاره‌هایی است که ما از حقیقت آن‌ها مطمئن نیستیم. گزاره‌های مورد نظر معمولاً از فرم "آیا یک رویداد خاص رخ می‌دهد؟" و نگرش ذهن ما از فرم "چقدر اطمینان داریم که این رویداد رخ خواهد داد؟" است. میزان اطمینان ما، قابل توصیف به صورت عددی می‌باشد که این عدد مقداری بین ۰ و ۱ را گرفته و آن را احتمال می نامیم. هر چه احتمال یک رویداد بیشتر باشد، ما مطمئن تر خواهیم بود که آن رویداد رخ خواهد داد. در واقع میزان اطمینان ما از اینکه یک واقعه (تصادفی) اتفاق خواهد افتاد.

جبر و معادله

جبر

جَبر (وام واژه عربی الجبر به‌معنای «یکی‌سازی تکه‌های شکسته‌شده» و «شکسته‌بندی») به همراه نظریه اعداد، هندسه و آنالیز، یکی از وسیع‌ترین شاخه‌های ریاضیات است. جبر در عمومی‌ترین حالت خود به مطالعه این نمادهای ریاضیاتی می پردازد؛ و ریسمانیست که تقریباً تمام ریاضیات را با هم یکپارچه می کند. این شاخه شامل مباحث زیادی مثل حل معادلات مقدماتی تا مطالعه تجریدهایی چون گروه‌ها، حلقه‌ها و میدان‌ها است. بخش های مقدماتی تر جبر را جبر مقدماتی می نامند؛ و بخش های مدرن آن را جبر مجرد یا جبر مدرن می خوانند. جبر مقدماتی اغلب بخش مهم مطالعه ریاضیات، علوم یا مهندسی به علاوه علوم کاربردی دیگری چون پزشکی و اقتصاد می باشد. جبر مجرد یکی از شاخه های اصلی ریاضیات پیشرفته است که عمدتاً توسط ریاضیدانان حرفه ای مطالعه می شود.

معادله

معادله در ریاضیات بیان برابری دو چیز با استفاده از نمادهاست. در تمام معادله‌ها علامت تساوی (=) دیده می‌شود. هر معادله دو طرف دارد که در دو طرف علامت تساوی ظاهر می‌شوند. در حقیقت معادله نوعی ترازو است که تساوی هر دو وزن ۵۰-۵۰ یا برابر است.

واژه شناسی جبر و معادله

جبر:به معنای جبران کردن.

معادله:به معنای عدالت و موجب تعادل.

منابع

ویکی پدیای فارسی

ریاضیات گسسته

ریاضیات گسسته شاخه‌ای از علم ریاضیات است که با عناصر گسسته ریاضیات(مثل کاربرد ریاضی در سیستم ها) سروکار دارد و نه عناصر پیوسته(مثل حساب،هندسه و...) و از جبر و حساب استفاده می‌کند. ریاضیات گسسته به‌دلیل کاربردهای زیاد در علوم رایانه در دهه‌های گذشته کاربرد زیاد یافته‌است. مفاهیم و نشانه‌های ریاضیات گسسته برای مطالعه «الگوریتم‌های رایانه» و «زبان‌های برنامه‌نویسی» مورد استفاده قرار گرفته‌است. در بعضی دانشگاه‌ها ریاضیات محدود به مفاهیمی از ریاضیات گسسته اطلاق می‌شود که در تجارت کاربرد داشته‌اند؛ ولی ریاضیات گسسته به مباحث تخصصی علوم رایانه می‌پردازد.ریاضیات مفهومی جبری،حسابی،احتمالی و آماری دارد.در ریاضیات گسسته مفاهیم هندسی به روش گراف به صورت جبری و احتمالی صورت می گیرد

مفاهیم گراف به روش ریاضیات گسسته

مجموعه اشیاء مورد مطالعه در ریاضیات گسسته می تواند متناهی یا نامتناهی باشد. اصطلاح ریاضیات محدود گاهی اوقات به بخش هایی از رشته ریاضیات گسسته که با مجموعه های محدود سر و کار دارد، به ویژه آن دسته از حوزه های مرتبط با تجارت به کار می رود.

تحقیقات در ریاضیات گسسته در نیمه دوم قرن بیستم تا حدودی به دلیل توسعه رایانه های دیجیتال افزایش یافت. که در مراحل "گسسته" کار می کنند و داده ها را در بیت های "گسسته" ذخیره می کنند. مفاهیم و نمادهای ریاضیات گسسته در مطالعه و توصیف اشیاء و مسائل در شاخه‌های علوم کامپیوتر مانند الگوریتم‌های کامپیوتر ، زبان‌های برنامه‌نویسی ، رمزنگاری ، اثبات قضایای خودکار و توسعه نرم‌افزار مفید هستند . برعکس، پیاده‌سازی‌های کامپیوتری در کاربرد ایده‌ها از ریاضیات گسسته تا مسائل دنیای واقعی مهم هستند.

اگرچه موضوعات اصلی مطالعه در ریاضیات گسسته اشیاء گسسته هستند، روش های تحلیلی از ریاضیات "پیوسته" نیز اغلب به کار گرفته می شود.

در برنامه های درسی دانشگاه، "ریاضیات گسسته" در دهه 1980 ظاهر شد، در ابتدا به عنوان یک دوره آموزشی پشتیبانی از علوم کامپیوتر. محتوای آن در آن زمان تا حدودی تصادفی بود. برنامه درسی پس از آن در ارتباط با تلاش های ACM و MAA به دوره ای تبدیل شد که اساساً در نظر گرفته شده است تا بلوغ ریاضی را در دانش آموزان سال اول توسعه دهد. بنابراین امروزه پیش نیاز رشته ریاضی در برخی از دانشگاه ها نیز می باشد.  برخی از کتاب های درسی ریاضیات گسسته در سطح دبیرستان نیز ظاهر شده اند.  در این سطح، ریاضیات گسسته گاهی اوقات به عنوان یک دوره مقدماتی در نظر گرفته می شود، که از این نظر بی شباهت به پیش حساب نیست .

تاریخچه ریاضیات گسسته

عمدهٔ پیشرفتی که از اواسط قرن ۱۷ میلادی در ریاضیات صورت گرفت، در حساب دیفرانسیل و انتگرال بود که به خواص عدد حقیقی و تابع‌های از این مجموعه بود. مطالعهٔ این مجموعه‌های ناشمارا منجر به به وجود آمدن مفاهیم پیوستگی و مشتق گردید و به این دلیل این ریاضیات را ریاضیات پیوسته می‌خوانند. اما در مقابل این گونه ریاضیات مفاهیم دیگری در ریاضیات وجود دارند که روی مجموعه‌های متناهی و شمارا قابل تعریف‌اند. به مجموعهٔ این مفاهیم ریاضی، ریاضیات گسسته گویند. ریاضیات گسسته در سال‌های اخیر و به دلیل پیشرفت دانش کامپیوتر بیشترین رشد خود را در تاریخ ریاضیات داشته‌است.ریاضیات گسسته بعد از چندین سال به صورت یک مفهوم علمی ظاهر شد و یکی از علم های مهم در ریاضی است.امروزه ریاضیات گسسته علاوه بر کاربرد های کامپیوتر در کاربردی های رمز نگاری،داده های رابطه،تدارکات کامپیوتری،اعداد تصادفی و... می پردازد.

مباحث ریاضیات گسسته

علوم کامپیتوری نظری

علم کامپیوتر نظری شامل حوزه هایی از ریاضیات گسسته مرتبط با محاسبات است. این به شدت از نظریه گراف و منطق ریاضی استفاده می کند. در علم کامپیوتر نظری، مطالعه الگوریتم ها و ساختارهای داده گنجانده شده است. محاسبه پذیری آنچه را که اصولاً می توان محاسبه کرد، مطالعه می کند و پیوندهای نزدیکی با منطق دارد، در حالی که پیچیدگی زمان، مکان و سایر منابع گرفته شده توسط محاسبات را مطالعه می کند. تئوری خودکار و نظریه زبان رسمی ارتباط نزدیکی با قابلیت محاسبه دارند. شبکه‌های پتری و جبرهای فرآیندی برای مدل‌سازی سیستم‌های کامپیوتری و روش‌هایی از ریاضیات گسسته در تجزیه و تحلیل VLSI استفاده می‌شوند.مدارهای الکترونیکی. هندسه محاسباتی الگوریتم ها را برای مسائل هندسی و نمایش اشیاء هندسی به کار می برد، در حالی که تجزیه و تحلیل تصویر کامپیوتری آنها را برای نمایش تصاویر به کار می برد. علم کامپیوتر نظری نیز شامل مطالعه موضوعات مختلف محاسباتی پیوسته است.

نظریه اطلاعات

نظریه اطلاعات شامل کمی سازی اطلاعات است. نظریه کدگذاری که برای طراحی روش‌های انتقال و ذخیره‌سازی داده‌ها کارآمد و قابل اعتماد استفاده می‌شود، ارتباط نزدیک دارد . تئوری اطلاعات نیز شامل موضوعات پیوسته ای مانند: سیگنال های آنالوگ ، کدگذاری آنالوگ ، رمزگذاری آنالوگ است.

منطق ریاضیات

منطق مطالعه اصول استدلال و استنباط معتبر و همچنین قوام ، درستی و کامل بودن است. به عنوان مثال، در بیشتر سیستم های منطق (اما نه در منطق شهودی ) قانون پیرس ((( P → Q ) → P ) → P ) یک قضیه است. برای منطق کلاسیک، می توان آن را به راحتی با یک جدول حقیقت تأیید کرد . مطالعه برهان ریاضی از اهمیت ویژه ای در منطق برخوردار است و برای اثبات قضیه خودکار و تأیید رسمی نرم افزار کاربرد دارد.

فرمول های منطقی ساختارهای گسسته ای هستند، همانطور که اثبات ها هستند، که درخت های محدود  یا، به طور کلی، ساختارهای گراف غیر چرخه ای جهت دار  تشکیل می دهند (با هر مرحله استنتاج ترکیب یک یا چند شاخه مقدماتی برای ارائه یک نتیجه واحد). مقادیر صدق فرمول‌های منطقی معمولاً یک مجموعه محدود را تشکیل می‌دهند که عموماً به دو مقدار محدود می‌شود: درست و نادرست ، اما منطق نیز می‌تواند دارای ارزش پیوسته باشد، به عنوان مثال، منطق فازی . مفاهیمی مانند درختان اثبات نامحدود یا درختان مشتق نامتناهی نیز مورد مطالعه قرار گرفته اند،  به عنوان مثالمنطق بی نهایت .

تئوری مجموعه ها

نظریه مجموعه‌ها شاخه‌ای از ریاضیات است که مجموعه‌ها را که مجموعه‌ای از اشیاء هستند، مانند {آبی، سفید، قرمز} یا مجموعه (بی نهایت) همه اعداد اول را مطالعه می‌کند. مجموعه ها و مجموعه های جزئی مرتب شده با روابط دیگر در چندین زمینه کاربرد دارند.

در ریاضیات گسسته، مجموعه های قابل شمارش (از جمله مجموعه های محدود ) تمرکز اصلی هستند. شروع نظریه مجموعه ها به عنوان شاخه ای از ریاضیات معمولاً با کار جورج کانتور در تمایز بین انواع مختلف مجموعه های نامتناهی با انگیزه مطالعه سری های مثلثاتی مشخص می شود و توسعه بیشتر نظریه مجموعه های نامتناهی خارج از محدوده گسسته است. ریاضیات در واقع، کار معاصر در نظریه مجموعه‌های توصیفی از ریاضیات پیوسته سنتی استفاده گسترده می‌کند.

ترکیبات

ترکیب شناسی روشی را مطالعه می کند که در آن ساختارهای گسسته می توانند ترکیب یا چیده شوند. ترکیبات شمارشی بر شمارش تعداد اشیاء ترکیبی خاص متمرکز است - به عنوان مثال روش دوازده گانه یک چارچوب یکپارچه برای شمارش جایگشت ها، ترکیب ها و پارتیشن ها فراهم می کند . ترکیبات تحلیلی به شمارش (یعنی تعیین تعداد) ساختارهای ترکیبی با استفاده از ابزارهای تحلیل پیچیده و نظریه احتمال مربوط می شود . در مقایسه با ترکیبات شمارشی که از فرمول های ترکیبی صریح و توابع تولیدی استفاده می کند .برای توصیف نتایج، هدف ترکیبات تحلیلی به دست آوردن فرمول های مجانبی است. ترکیبات توپولوژیکی به استفاده از تکنیک هایی از توپولوژی و توپولوژی جبری / توپولوژی ترکیبی در ترکیبات مربوط می شود. تئوری طراحی مطالعه طرح‌های ترکیبی است که مجموعه‌ای از زیر مجموعه‌ها با ویژگی‌های تقاطع مشخص هستند . نظریه پارتیشن مسائل مختلف شمارش و مجانبی مربوط به پارتیشن های عدد صحیح را مطالعه می کند و ارتباط نزدیکی با سری q ، توابع ویژه وچند جمله ای های متعامد . نظریه پارتیشن در ابتدا بخشی از نظریه و تحلیل اعداد بود، اکنون بخشی از ترکیبات یا یک زمینه مستقل در نظر گرفته می شود. تئوری نظم مطالعه مجموعه های جزئی منظم ، متناهی و نامتناهی است.

نظریه گراف

نظریه گراف، مطالعه گراف ها و شبکه ها ، اغلب به عنوان بخشی از ترکیب شناسی در نظر گرفته می شود، اما به اندازه کافی بزرگ و متمایز شده است، با مشکلات خاص خود، که به عنوان یک موضوع در نظر گرفته می شود.  نمودارها یکی از موضوعات اصلی مطالعه در ریاضیات گسسته هستند. آنها یکی از رایج ترین مدل های سازه های طبیعی و ساخت بشر هستند. آنها می توانند انواع زیادی از روابط و پویایی فرآیند را در سیستم های فیزیکی، بیولوژیکی و اجتماعی مدل کنند. در علوم کامپیوتر، آنها می توانند شبکه های ارتباطی، سازماندهی داده ها، دستگاه های محاسباتی، جریان محاسبات و غیره را نشان دهند .نظریه گراف جبری پیوند نزدیکی با نظریه گروه دارد و نظریه گراف توپولوژیکی پیوند نزدیکی با توپولوژی دارد. نمودارهای پیوسته نیز وجود دارد . با این حال، در بیشتر موارد، تحقیقات در نظریه گراف در حوزه ریاضیات گسسته قرار می گیرد.

نظریه اعداد

نظریه اعداد به خصوصیات اعداد به طور کلی، به ویژه اعداد صحیح مربوط می شود. کاربردهایی در رمزنگاری و تحلیل رمزی دارد، به ویژه با توجه به محاسبات مدولار ، معادلات دیوفانتین ، همخوانی های خطی و درجه دوم، اعداد اول و آزمایش اولیه . دیگر جنبه های گسسته نظریه اعداد شامل هندسه اعداد است. در تئوری اعداد تحلیلی ، از تکنیک‌های ریاضیات پیوسته نیز استفاده می‌شود. موضوعاتی که فراتر از اشیاء گسسته هستند شامل اعداد ماورایی ، تقریب دیوفانتین ، تجزیه و تحلیل p-adic و فیلدهای تابع است.

کاربرد ها

ریاضیات گسسته مطالعه ریاضیاتی است که به مجموعه‌ای از اعداد صحیح محدود شده‌است. اگرچه مطالعه کاربردهای ریاضیات پیوسته مانند حساب و جبر و مقابله به بسیاری از محققین آشکار است، کاربرد ریاضیات گسسته ممکن است نخست مبهم به نظر آید. با این وجود، ریاضی گسسته پایه‌های بسیاری از رشته‌های علمی در دنیای واقعی به خصوص علوم کامپیوتر را تشکیل می‌دهد. تکنیک‌های اولیه در ریاضیات گسسته را می‌توان در بسیاری از زمینه‌های مختلف استفاده شود.

کاربرد ریاضیات گسسته در رمزنگاری

رشته رمزنگاری که مطالعه روی چگونگی ایجاد ساختارهای امنیتی و کلمه عبور برای کامپیوتر و دیگر سیستم‌های الکترونیکی است، به‌طور کامل در ریاضیات گسسته بنا شده‌است. این امر تا حدی به این دلیل است که کامپیوترها اطلاعات را به صورت گسسته ارسال می‌کند. یک بخش مهم از ریاضیات گسسته این است که اجازه می‌دهد تا رمزنگاران به ایجاد و با شکستن کلمات عبور عددی نمایند. از آنجا که کمیت پول و مقدار اطلاعات محرمانه دخالت می‌کند، رمزنگار، اول باید یک پس زمینه محکم در نظریه اعداد داشته باشد تا اینکه بتوانند نشان دهند که آن‌ها می‌توانند کلمات عبور امن و روش‌های رمزگذاری مطمئن ارائه دهند.

پایگاه داده‌های رابطه

پایگاه‌های داده رابطه تقریباً در تمام سازمان‌هایی که باید پیگیر کارمندان، مشتریان یا منابع هستند، نقش دارد. تقریباً در هر سازمان است که باید پیگیری کارکنان، مشتریان یا منابع است. یک پایگاه داده رابطه، صفات از یک قطعه خاصی از اطلاعات را متصل می‌کند. به عنوان مثال، در یک پایگاه شامل اطلاعات مشتری، رابطه جنبه‌های مختلف این پایگاه، نام، آدرس، شماره تلفن و سایر اطلاعات مریض را اجازه می‌دهد تا با هم در ارتباط باشند و مورد استفاده قرار گیرند. این کار همه از طریق مفهوم ریاضی گسسته انجام می‌شود. پایگاه داده اجازه می‌دهد تا اطلاعات گروه‌بندی شود و مورده استفاده قرار داده شود. از آنجا که هر قطعه از اطلاعات و هر صفت متعلق به آن قطعه از اطلاعات گسسته‌است، سازماندهی این چنین اطلاعاتی در یک پایگاه داده نیاز به روش‌های ریاضیات گسسته دارد.

استفاده به عنوان تدارکات

لجستیک مطالعه سازماندهی جریان اطلاعات، کالاها و خدمات است. بدون ریاضیات گسسته، تدارکات وجود نخواهد داشت. دلیل این است که تدارکات به‌طور سنگین از نمودارها و نظریه گراف، که یک زیر رشته ریاضی گسسته‌است، استفاده می‌کند. نظریه گراف اجازه می‌دهد تا مشکلات پیچیده تدارکات به‌طور ساده به نمودارهای متشکل از گره‌ها و خطوط نمایش داده شوند. یک ریاضی‌دان می‌تواند این نمودارها را با توجه به روش نظریه گراف به منظور تعیین بهترین راه برای حمل و نقل یا حل دیگر مشکلات لجستیکی تجزیه و تحلیل کند.

الگوریتم‌های کامپیوتری

الگوریتم قوانینی است که توسط آن یک کامپیوتر عمل می‌کند. این قوانین از طریق قوانین ریاضیات گسسته ایجاد شده‌است. یک برنامه‌نویس کامپیوتر با استفاده از ریاضیات گسسته به طراحی الگوریتم‌های کارآمد می‌پردازد. این طراحی شامل استفاده از ریاضی گسسته برای تعیین تعداد مراحلی که یک الگوریتم نیاز دارد کامل شود، که حاکی از سرعت الگوریتم است. به دلیل پیشرفت‌های حاصل در کاربردی ریاضیات گسسته در الگوریتم، کامپیوترهای امروزی بسیار سریع تر از قبل اجرا و راه اندازی می‌شوند.

کاربردهای همنهشتی

همنهشتی‌ها کاربردهای زیادی در ریاضیات گسسته ،علوم کامپیوتر، و بسیاری از رشته‌های دیگر دارد. در این مقاله سه کاربرد آن را معرفی می‌کنیم.

استفاده در تخصیص مکان‌های حافظه به فایل‌های کامپیوتری

فرض کنید یک شماره شناسایی مشتری به طول ده رقم است. برای بازیابی سریع فایل‌های مشتری، نمی‌خواهیم با استفاده از رکورد مشتری، یک خانهٔ حافظه اختصاص دهیم. در عوض، می‌خواهیم از یک عدد صحیح کوچکتر مربوط به شماره شناسایی استفاده کنیم. اینکار را می‌توان با تابع درهم‌ساز (hashing function) معروف است انجام داد.

تولید اعداد تصادفی

ساختن دنباله‌ای از اعداد تصادفی برای الگوریتم‌های تصادفی، برای شبیه‌سازی‌ها، و نیز برای بسیاری از اهداف دیگر مهم هستند. ساختن یک دنباله از اعداد تصادفی واقعی خیلی دشوار است یا احتمالاً غیرممکن.

با استفاده از همنهشتی می‌توان دنباله‌ای از اعداد شبه تصادفی تولید کرد. این اعداد تصادفی دارای این مزیت هستند که خیلی سریع ساخته می‌شوند و عیب آن در این است که در استفاده از این دنباله‌ها در کارهای مختلف باید پیشگویی‌های زیادی داشته باشیم.

رقم‌های کنترلی

از همنهشتی‌ها می‌توان در برای تولید رقم‌های کنترلی (check digit) شماره‌های شناسایی از انواع مختلف نظیر شماره‌های کد ورد استفاده در محصولات خرده فروشی، شماره‌های مورد استفاده در کتاب‌ها، شماره‌های بلیط هواپیمایی، و… استفاده کرد.

تابع درهم‌ساز

در عمل، تابع‌ها ی در هم ساز مختلفی وجود دارد اما یکی از متداول‌ترین آن‌ها به شکل h(k)=k mod m است که در آن m تعداد خانه‌های حافظه موجود است. تابع‌های در هم ساز به راحتی ارزیابی می‌شوند طوری‌که مکان فایل‌ها را به سرعت می‌توان مشخص کرد. تابع در هم ساز (h(k ای نیاز را برطرف می‌کند. برای یافتن (h(k لازم است باقی‌مانده تقسیم k بر m را بدست آوریم. همچینی این تابع پوشا نیز هست.

روش همنهشتی خطی

معمول‌ترین روش استفاده شده برای تولید اعداد شبه تصادفی این روش همنهشتی خطی است.

رقم‌های کنترلی

از همنهشتی‌ها در رشته‌های رقمی برای کنترل خطاها استفاده می‌شود. یک روش معمول برای کشف خطاها در چنین رشته‌ای، افزودن یک رقم اضافی در پایان رشته‌است. این رقم پایانی یا رقم کنترلی، با استفاده از یک تابع خاص محاسبه می‌شود. آنگاه برای تعیین اینکه این یک رشته رقمی درست است، یک کنترل انجام می‌شود تا معلوم شود این رقم پایانی دارای مقدار درست است.

منابع

ویکی پدیای انگلیسی

ویکی پدیای فارسی

حسابان

حسابان (یا حساب دیفرانسیل و انتگرال)، که در گذشته به آن حساب بی‌نهایت‌کوچک‌ها می گفتند شاخه‌ای از ریاضی است. همان‌گونه که هندسه مطالعه‌ی اشکال و جبر تعمیم عملیات حساب (چهار عمل اصلی) است، حسابان به مطالعه‌ی ریاضیاتی تغییرات پیوسته می پردازد.

حسابان دارای دو شاخه: حساب دیفرانسیل و حساب انتگرالی است. حساب دیفرانسیل به مطالعه نرخ تغییرات و شیب منحنی‌ها پرداخته در حالی که حساب انتگرالی به تجمع مقادیر و نواحی تحت منحنی‌ها می‌پردازد. این دو شاخه توسط قضیه‌ی اساسی حسابان، به یک دیگر مرتبط شده و از مفاهیم بنیادی همگرایی دنباله ها و سری‌های نامتناهی به یک حد خوش تعریف استفاده می‌کنند.

حساب بی‌نهایت‌ کوچک‌ها به طور مستقل در اواخر قرن هفدهم میلادی توسط ایزاک نیوتون و گوتفرید ویلهلم لایبنیز توسعه یافت. امروزه حسابان در علوم، مهندسی و اقتصاد کاربردهای گسترده‌ای پیدا کرده است.

تاریخچه

دوران باستان

در دوره باستانی برخی از ایده ها به حساب انتگرالی منجر شدند. اما به نظر نمی رسد که این ایده ها منجر به رهیافتی نظام مند و استوار شده باشد. محاسبات حجم و مساحت، یکی از اهداف حساب انتگرالی است که می توان رد آن را در پاپیروس مسکو پیدا کرد (دودمان سیزدهم مصر، حدود ۱۸۲۰ قبل از میلاد)؛ اما فرمول های آن دستور العمل های ساده بدون هیچ نشانی از روشی مشخص بودند، به گونه ای که برخی از این دستور العمل ها فاقد مؤلفه های اصلی بودند.

از عصر ریاضیات یونانی، اودوکسوس (حدود ۴۰۸-۳۵۵ قبل از میلاد) از روش افنا (که قبل از کشف مفهوم حد، کاری شبیه به آن را انجام می داد) برای محاسبه مساحت ها و حجم ها استفاده می کرد، در حالی که ارشمیدس (حدود ۲۸۷-۲۱۲ قبل از میلاد) این ایده را بیشتر تکوین داد تا روش اکتشافی را اختراع کرد که شباهت به روش های حساب انتگرالی دارد.

دوران قرون وسطی

در خاورمیانه، ابن هیثم (به لاتین: Alhazen) (965-1040 میلادی) فرمولی برای جمع توان‌های چهارم بدست آورد. او از نتایجی که اکنون به آن انتگرال گیری این تابع می‌گوییم استفاده کرد، که چنین فرمول‌هایی برای جمع مربع اعداد صحیح و توان چهارم برای او امکان محاسبه حجم سهمی‌گون را نیز فراهم نمود.

در قرن چهاردهم، ریاضیدانان هندی روشی نا-استوار ارائه نمودند که شبیه دیفرانسیل گیری بود به گونه‌ای که بر روی برخی توابع مثلثاتی قابل اعمال بود.

در اروپا، کار بنیادینی در قالب رساله بوناونتورا کاوالیری صورت گرفت. او بود که مدعی شد حجم‌ها و مساحت‌ها را باید به صورت جمع حجم‌ها و مساحت‌هایی با مقاطع بی‌نهایت کوچک نوشت. این ایده‌ها مشابه کار ارشمیدس در رساله اش به نام روش بود، اما معتقدند که رساله مذکور ارشمیدس در قرن ۱۳م مفقود شده و در قرن ۲۰م میلادی دوباره کشف شده، بنابر این کاوالیری از وجود آن آگاهی نداشته است.

نیوتن دانشمند انگلیسی

دوران مدرن

مطالعه رسمی حسابان، روش بی‌نهایت‌کوچک‌های کاوالیری و حساب تفاضلات متناهی که در اروپا در همان زمان ها تکوین یافته بود را گرد هم آورد. پیر دو فرما، مدعی شد که مفهوم "تا حد ممکن برابر" (او برای این مفهوم، به کمک زبان لاتین، کلمه adequality را ابداع نمود) را از دیوفانتوس الهام گرفته است. این مفهوم نمایانگر برابری در حد یک جمله خطای بی نهایت کوچک بود. ترکیب این مفاهیم توسط جان ویلیس، ایساک بارو و جیمز گرگوری بدست آمد که دو نفر اخیر دومین قضیه اساسی حساب را در حدود ۱۶۷۰ اثبات کردند.

قاعده ضرب و قاعده زنجیره ای، مفاهیم مشتقات مراتب بالاتر و سری تیلور، و توابع تحلیلی توسط ایزاک نیوتون و با استفاده از نمادگذاری عجیبی به کار گرفته شد تا توسط آن ها مسائلی را در ریاضی-فیزیک حل نماید. نیوتون در کار های خویش، ایده هایش را به گونه ای بازگو نمود تا با روش زمانه مطابقت داشته باشد، اینگونه که محاسبات بی‌نهایت‌کوچک‌ها را با معادل هندسیشان جایگزین نمود. او برای حل مسائلی چون حرکت سیاره ها، شکل سطح یک سیال دورانی، پهن شدگی کره زمین در قطبین (پخ شدگی در قطبین)، حرکت وزنه با سر خوردن روی یک چرخزاد، و بسیاری دیگر از مسائلی که در اثر خود (کتاب Principia Mathematica نوشته شده در ۱۶۸۷ میلادی) مورد بحث قرار داد، از روش حسابان استفاده کرد. او در آثار دیگر خود، بسط سری هایی برای توابع، شامل توان های کسری و غیر گویا به کار برد، به گونه ای که واضح بود که اصل سری تیلور را فهمیده است. اما او تمام این اکتشافات را منتشر نکرد و در آن زمان هنوز استفاده از روش بی‌نهایت‌کوچک‌ها بد سابقه بود و جنبه مناسبی نداشت.

این ایده ها به حساب بی‌نهایت‌کوچک‌های واقعی منجر شد که توسط گوتفرید ویلهلم لایبنیز سامان یافت. نیوتون در ابتدا لایبنیز را به سرقت علمی متهم کرد. او اکنون به عنوان مخترع و کمک کننده مستقل به حسابان به حساب می آید. کمک های او جهت ارائه مجموعه قواعد واضحی برای کار با مقادیر بی‌نهایت‌کوچک‌ها بود که امکان محاسبه مشتقات مراتب دوم و بالاتر را فراهم می کرد و قاعده ضرب و قاعده زنجیره ای را به فرم دیفرانسیلی و انتگرالی ارائه نمود. لایبنیز برعکس نیوتون، توجه بسیاری به صوری سازی می نمود، به گونه ای که اغلب روز ها صرف تعیین نماد مناسبی برای مفاهیم می نمود.

امروزه به هردوی لایبنیز و نیوتون جهت اختراع و توسعه مستقل حسابان اعتبار میدهند. نیوتون اولین کسی بود که حسابان را در فیزیک عمومی به کار برد و لایبنیز هم بخش زیادی از نمادگذاری به کار رفته در حسابان کنونی را اولین بار مورد استفاده قرار داد. بینش های پایه ای که هردوی نیوتون و لایبنیز ارائه نمودند شامل: قوانین دیفرانسیل گیری و انتگرال گیری، مشتقات مرتبه دوم و بالاتر و مفهوم تقریب زدن به کمک سری های چند جمله ای می شود. در زمان نیوتون، قضیه اساسی حساب شناخته شده بود.

از زمان لایبنیز و نیوتون، بسیاری از ریاضیدانان به تکوین پیوسته حسابان کمک کردند. یکی از اولین و کامل ترین کار هایی که هم بر روی حساب بی‌نهایت‌کوچک‌ها و هم حساب انتگرالی انجام شد، در سال ۱۷۴۸ توسط ماریا گائتنا آگنسی نوشته شد.

کاربرد

استفاده از حساب بی نهایت کوچک برای مسائل فیزیک و نجوم با پیدایش علم معاصر بود. در تمام قرن هجدهم، این کاربردها چند برابر شد، تا اینکه لاپلاس و لاگرانژ در نزدیکی آن، طیف وسیعی از مطالعه نیروها را وارد قلمرو تحلیل کردند. معرفی نظریه پتانسیل به دینامیک را مدیون لاگرانژ (1773) هستیم، اگرچه نام "تابع بالقوه" و خاطرات اساسی موضوع به دلیل گرین است (1827، چاپ شده در 1828). نام "پتانسیل" به دلیل گاوس (1840) و تمایز بین تابع پتانسیل و بالقوه به کلازیوس است. با توسعه آن، نام های لژون دیریکله، ریمان، فون نویمان، هاینه، کرونکر، لیپسشیتز، کریستوفل، کیرشهوف، بلترامی و بسیاری از فیزیکدانان برجسته قرن مرتبط است.

در این مقاله نمی‌توان وارد انواع کاربردهای دیگر تحلیل برای مسائل فیزیکی شد. از جمله تحقیقات اویلر در مورد آکوردهای ارتعاشی. سوفی ژرمن روی غشاهای الاستیک؛ پواسون، لامه، سن ونانت و کلبش در مورد کشش اجسام سه بعدی. فوریه در انتشار گرما. فرنل در نور; ماکسول، هلمهولتز، و هرتز در مورد برق. هانسن، هیل و گیلدن در مورد نجوم. ماکسول در مورد هارمونیک های کروی. لرد ریلی در مورد آکوستیک. و کمک های لژون دیریکله، وبر، کیرشوف، اف. زحمات هلمهولتز را باید به ویژه ذکر کرد، زیرا او به نظریه‌های دینامیک، الکتریسیته و غیره کمک کرد و قدرت تحلیلی عظیم خود را بر اصول اساسی مکانیک و همچنین در مورد ریاضیات محض به کار برد.

علاوه بر این، حساب بی نهایت کوچک به علوم اجتماعی وارد شد که با اقتصاد نئوکلاسیک شروع شد. امروزه ابزاری ارزشمند در جریان اصلی اقتصاد است.

پایه و اهمیت حسابان

پایه

در حساب دیفرانسیل و انتگرال، مبانی به توسعه دقیق موضوع از بدیهیات و تعاریف اشاره دارد. در محاسبات اولیه، استفاده از مقادیر بی نهایت کوچک غیر دقیق تصور می شد و توسط تعدادی از نویسندگان، به ویژه میشل رول و اسقف برکلی به شدت مورد انتقاد قرار گرفت . برکلی در سال 1734 در کتاب خود به نام «تحلیلگر »، بی‌نهایت‌ها را به‌عنوان ارواح مقادیر ناپدید شده توصیف کرد. ایجاد پایه‌ای دقیق برای حساب دیفرانسیل و انتگرال، ریاضیدانان را در طول قرن بعد از نیوتن و لایب‌نیتس به خود مشغول کرد، و امروزه نیز تا حدودی یک حوزه فعال تحقیقاتی است.

چندین ریاضیدان، از جمله مکلارین ، سعی کردند صحت استفاده از بی نهایت کوچک را ثابت کنند، اما تا 150 سال بعد، به دلیل کار کوشی و وایرشتراس ، سرانجام راهی برای اجتناب از "مفاهیم" صرف از مقادیر بی نهایت کوچک پیدا شد. .  پایه های حساب دیفرانسیل و انتگرال گذاشته شده بود. در Cours d'Analyse کوشی ، طیف وسیعی از رویکردهای بنیادی را می‌یابیم، از جمله تعریف تداوم بر حسب بی‌نهایت‌ها، و نمونه اولیه (تا حدودی نادقیق) از (ε, δ) - تعریف محدودیت در تعریف تمایز. وایرشتراس در کار خود مفهوم حد را رسمیت داد و بینهایت کوچکها را حذف کرد (اگرچه تعریف او در واقع می تواند بینهایت کوچکهای صفر مربع را تأیید کند ). به دنبال کار وایرشتراس، نهایتاً پایه‌گذاری حساب بر روی محدودیت‌ها به جای کمیت‌های بی‌نهایت رایج شد، اگرچه این موضوع هنوز هم گاهی اوقات «حساب بی‌نهایت کوچک» نامیده می‌شود. برنهارد ریمان از این ایده ها برای ارائه تعریف دقیقی از انتگرال استفاده کرد.  همچنین در این دوره بود که با توسعه تجزیه و تحلیل پیچیده ، ایده‌های حساب دیفرانسیل و انتگرال به سطح مختلط تعمیم داده شد .

در ریاضیات مدرن، مبانی حساب دیفرانسیل و انتگرال در حوزه تحلیل واقعی گنجانده شده است که شامل تعاریف و اثبات کامل قضایای حساب دیفرانسیل و انتگرال است. دسترسی به حساب دیفرانسیل و انتگرال نیز تا حد زیادی گسترش یافته است. هانری لبگو نظریه اندازه گیری را بر اساس پیشرفت های قبلی امیل بورل ابداع کرد و از آن برای تعریف انتگرال های همه به جز آسیب شناختی ترین توابع استفاده کرد.  لورن شوارتز توزیع‌هایی را معرفی کرد که می‌توان از آنها برای گرفتن مشتق از هر تابعی استفاده کرد.

محدودیت ها تنها رویکرد دقیق برای پایه و اساس حساب دیفرانسیل و انتگرال نیستند. راه دیگر استفاده از تحلیل غیراستاندارد آبراهام رابینسون است . رویکرد رابینسون، که در دهه 1960 توسعه یافت، از ماشین آلات فنی از منطق ریاضی برای تقویت سیستم اعداد واقعی با اعداد بی نهایت کوچک و نامتناهی استفاده می کند، همانطور که در مفهوم اصلی نیوتن-لایبنیتس بود. اعداد به دست آمده را اعداد فراواقعی می نامند و می توان از آنها برای ارائه یک توسعه لایبنیتس مانند قوانین معمول حساب استفاده کرد.  همچنین تحلیل بی نهایت کوچک صاف وجود دارد، که با تجزیه و تحلیل غیر استاندارد تفاوت دارد زیرا نادیده گرفتن بی‌نهایت‌های کوچک با توان بالاتر را در طول اشتقاق الزامی می‌کند.

اهمیت

در حالی که بسیاری از ایده‌های حساب دیفرانسیل و انتگرال قبلاً در یونان ، چین ، هند ، عراق، ایران و ژاپن توسعه یافته بودند ، استفاده از حساب دیفرانسیل و انتگرال در قرن هفدهم، زمانی که آیزاک نیوتن و گوتفرید ویلهلم لایب‌نیتس بر اساس کار خود ساخته بودند، در اروپا آغاز شد. ریاضیدانان قبلی اصول اولیه آن را معرفی کردند.  توسعه حساب دیفرانسیل و انتگرال بر اساس مفاهیم اولیه حرکت آنی و مساحت زیر منحنی ها ساخته شده است.

کاربردهای حساب دیفرانسیل شامل محاسبات مربوط به سرعت و شتاب ، شیب منحنی و بهینه سازی است. کاربردهای حساب انتگرال شامل محاسبات مربوط به مساحت، حجم ، طول قوس ، مرکز جرم ، کار و فشار است. برنامه های پیشرفته تر شامل سری های قدرت و سری فوریه است .

حساب دیفرانسیل و انتگرال نیز برای به دست آوردن درک دقیق تری از ماهیت فضا، زمان و حرکت استفاده می شود. برای قرن‌ها، ریاضی‌دانان و فیلسوفان با پارادوکس‌هایی دست و پنجه نرم می‌کردند که شامل تقسیم بر صفر یا مجموع بی‌نهایت اعداد بود. این سوالات در مطالعه حرکت و مساحت مطرح می شود. فیلسوف یونان باستان Zeno of Elea چندین نمونه معروف از این پارادوکس ها را بیان کرد. حساب دیفرانسیل و انتگرال ابزارهایی را فراهم می کند، به خصوص حد و سری بی نهایت ، که پارادوکس ها را حل می کند.

اصول

حدود و بی‌نهایت‌کوچک‌ها

حسابان اغلب با کار روی مقادیر بسیار کوچک توسعه یافته است. از نظر تاریخی، اولین روش آن با کمک بی‌نهایت‌کوچک‌ها صورت گرفت. این ها اشیائی هستند که می توان با آن ها همچون اعداد حقیقی رفتار کرد، اما از جنبه هایی "بی نهایت کوچک" اند. به عنوان مثال، یک عدد بی‌نهایت‌کوچک ممکن است بزرگتر از صفر باشد، اما کوچتر از هر عدد در دنباله $1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},\cdots$ باشد و لذا از هر عدد حقیقی مثبتی کوچکتر است. از این دیدگاه، حسابان گردایه ای از فنون دستکاری بی‌نهایت‌کوچک هاست. نمادهای $dx$ و $dy$ را نماینده بی‌نهایت‌کوچک ها و مشتق، یعنی $dy/dx$ را صرفاً نسبت این دو در نظر می گرفتند.

رهیافت بی‌نهایت‌کوچک ها در قرن ۱۹م از دور خارج شد چون دقیق کردن مفهوم بی‌نهایت‌کوچک کار سختی بود. با این حال، این مفهوم در قرن بیستم دوباره با معرفی مفهوم آنالیز غیر-استاندارد و آنالیز بی‌نهایت‌کوچک های هموار که بنیان محکمی برای دستکاری بی‌نهایت‌کوچک ها ارائه می نمود، زنده گشت.

در اواخر قرن نوزدهم، بی‌نهایت‌کوچک ها در مجامع علمی با رهیافت اپسیلون و دلتا جهت تعریف حد جایگزین گشت. حدود مقادیر یک تابع را در یک ورودی خاص بر حسب مقادیرش در ورودی های مجاور توصیف می کند. این ابزار، رفتار مقیاس کوچک را در بستر دستگاه اعداد حقیقی دریافت می کند. در این رهیافت، حسابان را می توان گردایه ای از فنون برای دستکاری حدود خاصی در نظر گرفت. بی‌نهایت‌کوچک ها با اعداد بسیار کوچک جایگزین شدند و رفتار بی نهایت کوچک یک تابع با رفتار حدی آن برای مقادیر اعداد کوچک و کوچک تر بدست می آید. تصور این بود که حدود بنیان استواری برای حسابان ارائه کرده و به همین دلیل این رهیافت در قرن بیستم تبدیل به رهیافتی استاندارد شد.

حساب دیفرانسیل

خط مماس در $(x,f(x))$. مشتق $f'(x)$ یک منحنی در یک نقطه برابر شیب خط مماس (ضلع مقابل تقسیم بر مجاور در مثلث قائم الزاویه مربوطه) در آن نقطه است.

حساب دیفرانسیل به مطالعه تعریف، خواص و کاربردهای مشتق یک تابع می پردازد. فرآیند یافتن مشتق را دیفرانسیل‌گیری می نامند. اگر یک تابع و نقطه ای در دامنه آن را در نظر بگیریم، مشتق آن نقطه روشی است که رفتار مقیاس کوچک یک تابع نزدیک آن نقطه را در خود می گنجاند. با یافتن مشتق یک تابع در هر نقطه از دامنه آن، امکان تولید تابعی جدید به نام تابع مشتق یا صرفا مشتق تابع اصلی وجود دارد. به زبان صوری، مشتق عملگری خطی است که یک تابع را به عنوان ورودی گرفته و تابع دیگری را به عنوان خروجی تولید می کند. توصیف اخیر از بسیاری فرآیند های مورد مطالعه در جبر مقدماتی مجرد تر است، که ورودی و خروجی تابع صرفاً اعداد بودند. به عنوان مثال، اگر تابع دوبرابر کننده در نظر گرفته می شد، با ورودی عدد سه، خروجی عدد شش تولید می شد، و اگر تابع مربع سازی در نظر گرفته می شد، با گرفتن ورودی سه خروجی عدد نه می شد. در حالی که مشتق گیری کل تابع مربع ساز را به عنوان ورودی می گیرد، یعنی تمام اطلاعات مربوط به این که هر ورودی عددی آن تابع به چه خروجی عددی می رود، و از روی آن اطلاعات تابع دیگری می سازد که همان تابع دو برابر کننده است.

به زبان صریح تر، "تابع دو برابر کننده" را می توان به صورت $g(x)=2x$ نمایش داد و "تابع مربع ساز" را به صورت $f(x)=x^{2}$. اکنون "مشتق" تابع $f(x)$ را که با عبارت "$x^{2}$" تعریف می شود را به عنوان ورودی می گیرد و از روی آن تابع $g(x)=2x$ را تولید می کند.

رایج ترین نماد برای مشتق، نشانی شبیه به آپاستروف است که به آن پرایم (یا در فارسی پریم) می گویند. لذا، مشتق یک تابع مثل $f$ به صورت $f'$ نوشته شده و آن را "اف پرایم" می خوانند. به عنوان مثال، اگر $f(x)=x^{2}$ تابع مربع ساز باشد، آنگاه $f'(x)=2x$ مشتق آن است (همان تابع دوبرابر کننده که در بالا بحث شد). این نمادگذاری به نمادگذاری لاگرانژ معروف است.

برنامه های کاربردی

حساب دیفرانسیل و انتگرال در هر شاخه ای از علوم فیزیکی استفاده می شود،  علوم اکچوئری ، علوم کامپیوتر ، آمار ، مهندسی ، اقتصاد ، بازرگانی ، پزشکی ، جمعیت شناسی و در سایر زمینه ها هرجا که بتوان مسئله ای را به صورت ریاضی مدل کرد و راه حل بهینه آن یافت می شود. دلخواه. این به شخص اجازه می دهد تا از نرخ تغییر (غیرثابت) به تغییر کل یا برعکس برود، و بارها در مطالعه یک مسئله یکی را می شناسیم و سعی می کنیم دیگری را پیدا کنیم. حساب دیفرانسیل و انتگرال را می توان در ارتباط با سایر رشته های ریاضی استفاده کرد. به عنوان مثال، می توان آن را با جبر خطی برای یافتن تقریب خطی "بهترین مناسب" برای مجموعه ای از نقاط در یک دامنه استفاده کرد. یا می توان از آن در نظریه احتمال برای تعیین مقدار انتظاری یک متغیر تصادفی پیوسته با توجه به تابع چگالی احتمال استفاده کرد.  در هندسه تحلیلی ، برای مطالعه نمودارهای توابع، حساب دیفرانسیل و انتگرال برای یافتن نقاط بالا و پایین (حداکثر و حداقل)، شیب، تقعر و نقاط عطف استفاده می شود.. حساب دیفرانسیل و انتگرال نیز برای یافتن راه حل های تقریبی معادلات استفاده می شود. در عمل این روش استاندارد برای حل معادلات دیفرانسیل و انجام ریشه یابی در اکثر کاربردها است. به عنوان مثال روش هایی مانند روش نیوتن ، تکرار نقطه ثابت و تقریب خطی هستند. به عنوان مثال، فضاپیماها از تغییر روش اویلر برای تقریب مسیرهای منحنی در محیط های گرانش صفر استفاده می کنند.

فیزیک از حساب دیفرانسیل و انتگرال استفاده خاصی می کند. همه مفاهیم در مکانیک کلاسیک و الکترومغناطیس از طریق حساب دیفرانسیل و انتگرال به هم مرتبط هستند. جرم یک جسم با چگالی شناخته شده ، ممان اینرسی اجسام ، و انرژی های بالقوه ناشی از نیروهای گرانشی و الکترومغناطیسی را می توان با استفاده از حساب دیفرانسیل و انتگرال پیدا کرد. مثالی از استفاده از حساب دیفرانسیل و انتگرال در مکانیک، قانون دوم حرکت نیوتن است که می گوید مشتق تکانه جسم نسبت به زمان برابر با نیروی خالص است.بر روی آن از طرف دیگر، قانون دوم نیوتن را می توان با گفتن اینکه نیروی خالص برابر با جرم جسم ضربدر شتاب آن است، که مشتق زمانی سرعت و در نتیجه دومین مشتق زمانی موقعیت مکانی است بیان کرد. با شروع از دانستن چگونگی شتاب یک جسم، از حساب دیفرانسیل و انتگرال برای استخراج مسیر آن استفاده می کنیم.

نظریه الکترومغناطیس ماکسول و نظریه نسبیت عام انیشتین نیز به زبان حساب دیفرانسیل بیان شده اند.  شیمی همچنین از حساب دیفرانسیل و انتگرال در تعیین نرخ واکنش استفاده می کند  و در مطالعه واپاشی رادیواکتیو.  در زیست شناسی، پویایی جمعیت با تولید مثل و نرخ مرگ و میر شروع می شود تا تغییرات جمعیت را مدل سازی کند.

قضیه گرین ، که رابطه بین یک انتگرال خط حول یک منحنی بسته ساده C و یک انتگرال دوگانه را بر روی ناحیه صفحه D محدود شده با C نشان می دهد، در ابزاری به نام پلان متر که برای محاسبه مساحت یک تخت استفاده می شود، اعمال می شود . سطح روی یک نقاشی  به عنوان مثال، می توان از آن برای محاسبه مقدار مساحت اشغال شده توسط یک تخت گل یا استخر شنا با شکل نامنظم هنگام طراحی چیدمان یک قطعه استفاده کرد.

در قلمرو پزشکی، حساب دیفرانسیل و انتگرال را می توان برای یافتن زاویه انشعاب بهینه رگ خونی به منظور به حداکثر رساندن جریان استفاده کرد.  حساب دیفرانسیل و انتگرال را می توان برای فهمیدن اینکه یک دارو با چه سرعتی از بدن دفع می شود یا سرعت رشد یک تومور سرطانی را می توان به کار برد.

در علم اقتصاد، محاسبات امکان تعیین حداکثر سود را با ارائه راهی برای محاسبه آسان هزینه نهایی و درآمد نهایی فراهم می کند .

انواع

در طول سال‌ها، بسیاری از فرمول‌بندی‌های مجدد حساب دیفرانسیل و انتگرال برای اهداف مختلف مورد بررسی قرار گرفته‌اند.

حساب غیر استاندارد

محاسبات نادقیق با بینهایت کوچک به طور گسترده با تعریف دقیق (ε, δ) حد که از دهه 1870 شروع شد جایگزین شد. در همین حال، محاسبات با بینهایت کوچک ادامه داشت و اغلب به نتایج صحیح منتهی می شد. این امر باعث شد که آبراهام رابینسون بررسی کند که آیا امکان ایجاد یک سیستم اعداد با کمیت های بی نهایت کوچک وجود دارد که قضایای حساب دیفرانسیل و انتگرال هنوز معتبر هستند یا خیر. در سال 1960، با تکیه بر آثار ادوین هویت و جرزی لوش ، او موفق به توسعه تجزیه و تحلیل غیر استاندارد شد. تئوری تجزیه و تحلیل غیر استاندارد به اندازه کافی غنی است که در بسیاری از شاخه های ریاضیات قابل استفاده است. به این ترتیب، کتابها و مقالاتی که صرفاً به قضایای سنتی حساب اختصاص داده شده است، اغلب با عنوانحساب غیر استاندارد

تحلیل بی نهایت کوچک صاف

این یکی دیگر از فرمول بندی مجدد حساب بر حسب بی نهایت کوچک است. بر اساس ایده‌های FW Lawvere و با استفاده از روش‌های نظریه مقوله‌ها ، تمام توابع را پیوسته و ناتوان از بیان موجودیت‌های گسسته می‌داند. یکی از جنبه های این فرمول این است که قانون وسط حذف شده در این فرمول بندی وجود ندارد.

تحلیل سازنده

ریاضیات سازنده شاخه‌ای از ریاضیات است که اصرار دارد که اثبات وجود یک عدد، تابع یا دیگر شیء ریاضی باید ساختاری از شیء را ارائه دهد. به این ترتیب ریاضیات سازنده قانون وسط حذف شده را نیز رد می کند . فرمول بندی مجدد حساب دیفرانسیل و انتگرال در یک چارچوب سازنده عموماً بخشی از موضوع تحلیل سازنده است.

هندسه

هِندِسه(یا ژِئو «زمین»، مِتریا «سنجش، اندازه‌گیری») شاخه‌ای از ریاضیات است که با شکل، اندازه، موقعیت نسبی شکل‌ها و ویژگی‌های فضا سروکار دارد. ریاضیدانی که در شاخهٔ هندسه کار می‌کند هندسه‌دان نامیده می‌شود. هندسه به‌طور مستقل در پاره‌ای از تمدن‌های اولیه به شکل بدنه‌ای از دانش عملی در مورد طول، مساحت و حجم ظهور کرد و پایه‌ریزی آن به عنوان یک دانش رسمی ریاضی در زمان تالس (قرن ششم پیش از میلاد) در غرب آغاز شد. در قرن سوم پیش از میلاد، هندسه توسط اقلیدس به شکل اصل موضوعی درآمده بود و کار اقلیدس (هندسه اقلیدسی) استانداردی را پایه‌ریزی نمود که قرن‌ها دنبال شد. ارشمیدس روش‌های هوشمندانه‌ای برای محاسبهٔ مساحت و حجم ارائه داد که در بسیاری موارد پیش‌رو حساب انتگرال جدید محسوب می‌شوند. دانش اخترشناسی و به ویژه نگاشتن مکان ستاره‌ها و سیاره‌ها روی کره آسمان و توصیف رابطهٔ بین حرکت اجسام آسمانی تا هزار و پانصد سال بعد منشا بسیاری از پرسش‌های هندسی بود. هر دوی هندسه و اخترشناسی در دنیای کلاسیک بخشی از کوادریویم بودند که خود زیرمجموعه‌ای از علوم مقدماتی هفتگانه بود که یادگیری آن‌ها برای هر شهروند آزادی ضروری می‌نمود.

تاریخ

اولین آغاز ثبت شده هندسه را می توان در بین النهرین باستان و مصر در هزاره دوم قبل از میلاد ردیابی کرد.  هندسه اولیه مجموعه ای از اصول کشف شده تجربی در مورد طول ها، زوایا، مساحت ها و حجم ها بود که برای رفع برخی نیازهای عملی در نقشه برداری ، ساخت و ساز ، نجوم و صنایع دستی مختلف توسعه یافت. اولین متون شناخته شده در مورد هندسه عبارتند از پاپیروس رایند مصر (2000-1800 قبل از میلاد) و پاپیروس مسکو (حدود 1890 قبل از میلاد) و الواح گلی بابلی ، مانند Plimpton 322 .(1900 قبل از میلاد). به عنوان مثال، پاپیروس مسکو فرمولی برای محاسبه حجم یک هرم کوتاه شده یا فروستوم ارائه می دهد.  لوح‌های گلی بعدی (350–50 قبل از میلاد) نشان می‌دهد که اخترشناسان بابلی روش‌های ذوزنقه‌ای را برای محاسبه موقعیت و حرکت مشتری در فضای سرعت-زمان اجرا کردند. این رویه‌های هندسی ماشین‌حساب‌های آکسفورد ، از جمله قضیه سرعت متوسط ​​را تا 14 قرن پیش‌بینی کردند.  در جنوب مصر، نوبیای باستان سیستمی از هندسه شامل نسخه‌های اولیه ساعت‌های خورشیدی ایجاد کردند.

یک اروپایی و عرب درحال کار بر روی هندسه در قرن ۱۵م میلادی

در قرن هفتم قبل از میلاد، ریاضیدان یونانی تالس اهل میلتوس از هندسه برای حل مسائلی مانند محاسبه ارتفاع اهرام و فاصله کشتی ها از ساحل استفاده کرد. او را با اولین استفاده از استدلال قیاسی به کار رفته در هندسه، با استخراج چهار نتیجه به قضیه تالس، نسبت می دهند.  فیثاغورث مکتب فیثاغورث را تأسیس کرد ، که اولین اثبات قضیه فیثاغورث به آن نسبت داده می شود ،  اگرچه بیان این قضیه سابقه طولانی دارد.  Eudoxus (408-حدود 355 قبل از میلاد) روش فرسودگی را توسعه داد.که امکان محاسبه مساحت ها و حجم ارقام منحنی را فراهم می کند،  و همچنین نظریه نسبت هایی که از مشکل قدرهای غیرقابل مقایسه جلوگیری می کند ، که هندسه های بعدی را قادر می سازد پیشرفت های قابل توجهی داشته باشند. در حدود 300 سال قبل از میلاد، هندسه توسط اقلیدس متحول شد، او که «عناصرش» که به طور گسترده‌ای موفق‌ترین و تأثیرگذارترین کتاب درسی در تمام دوران به شمار می‌رود،  دقت ریاضی را از طریق روش بدیهی معرفی کرد و اولین نمونه از قالبی است که امروزه در ریاضیات استفاده می‌شود. تعریف، بدیهیات، قضیه و برهان. اگر چه بیشتر مطالب عناصرقبلاً شناخته شده بودند، اقلیدس آنها را در یک چارچوب منطقی واحد و منسجم مرتب کرد.  عناصر تا اواسط قرن بیستم برای همه تحصیلکرده‌های غرب شناخته شده بود و امروزه نیز مطالب آن در کلاس‌های هندسه تدریس می‌شود .  ارشمیدس (حدود 287-212 قبل از میلاد) سیراکوزی از روش خستگی برای محاسبه مساحت زیر کمان سهمی با جمع یک سری نامتناهی استفاده کرد و تقریب‌های دقیقی از پی ارائه کرد.  او همچنین مارپیچ نام خود را مطالعه کرد و فرمول هایی برای آن به دست آوردحجم سطوح انقلاب ریاضیدانان هندی نیز سهم مهمی در هندسه داشتند. Satapatha Brahmana (قرن 3 قبل از میلاد) شامل قوانینی برای ساخت و سازهای هندسی آیینی است که شبیه به Sulba Sutras است.  بر اساس ( هایاشی 2005 ، ص 363)، سوتراهای اولبا حاوی "قدیمی ترین بیان شفاهی موجود از قضیه فیثاغورث در جهان است، اگرچه قبلاً برای بابلیان قدیم شناخته شده بود. آنها حاوی فهرست هایی از سه گانه فیثاغورثی هستند.  که موارد خاصی از معادلات دیوفانتین است [  در نسخه خطی بخشعلیتعداد انگشت شماری از مسائل هندسی (از جمله مسائل مربوط به حجم جامدات نامنظم) وجود دارد. نسخه خطی بخشعلی نیز «نظام ارزش اعشاری با نقطه صفر را به کار می گیرد».  Aryabhatiya Aryabhata ( 499) شامل محاسبه مساحت و حجم است. براهماگوپتا اثر نجومی خود را براهما اسفوتا سیدانتا در سال 628 نوشت. فصل 12، شامل 66 آیه سانسکریت ، به دو بخش تقسیم شد: "عملیات اساسی" (شامل ریشه های مکعب، کسرها، نسبت و نسبت، و مبادله مبادله ای) و "عملیات مبادله ای". مخلوط، سری های ریاضی، ارقام هواپیما، روی هم چیدن آجرها، اره کردن الوار، و انباشته شدن دانه ها). در بخش دوم، او قضیه معروف خود را در مورد قطرهای یک چهارضلعی حلقوی بیان کرد. فصل 12 همچنین شامل فرمولی برای مساحت چهارضلعی حلقوی (تعمیم فرمول هرون )، و همچنین توضیح کاملی از مثلث های گویا ( یعنی مثلث هایی با اضلاع گویا و مساحت های گویا) بود.

زنی درحال یاد دادن هندسه. تصویری در آغاز ترجمه قرون وسطایی اصول اقلیدس، (حدود ۱۳۱۰ میلادی)

در قرون وسطی ، ریاضیات در اسلام قرون وسطی به توسعه هندسه، به ویژه هندسه جبری کمک کرد.  المهانی (متولد 853) ایده کاهش مسائل هندسی مانند تکرار مکعب به مسائل جبر را در ذهن داشت.  ثابت بن قره (معروف به لاتین به عنوان Thebit ) (901-836) با عملیات حسابی که برای نسبت‌های کمیت‌های هندسی اعمال می‌شود، سروکار داشت و به توسعه هندسه تحلیلی کمک کرد.  عمر خیام (1048-1131) راه حل های هندسی معادلات مکعبی را یافت..  قضایای ابن هیثم (الحازن)، عمر خیام و نصیرالدین طوسی در مورد چهارضلعی ها، از جمله چهارضلعی لامبرت و چهارضلعی ساکری ، نتایج اولیه در هندسه هذلولی بود و همراه با فرض های جایگزین آنها، مانند به عنوان بدیهیات Playfair ، این آثار تأثیر قابل توجهی بر توسعه هندسه غیر اقلیدسی در میان هندسه‌سنج‌های بعدی اروپایی، از جمله Witelo (حدود 1230-حدود 1314)، جرسونیدس (1288-1344)، آلفونسو ، جان والیس ، و جیووانی گیرولامو داشتند. ساچری.

در اوایل قرن هفدهم، دو پیشرفت مهم در هندسه رخ داد. اولین مورد ایجاد هندسه تحلیلی، یا هندسه با مختصات و معادلات ، توسط رنه دکارت (1596-1650) و پیر دو فرما (1601-1665) بود.  این یک پیش درآمد ضروری برای توسعه حساب دیفرانسیل و انتگرال و علم کمی دقیق فیزیک بود.  دومین توسعه هندسی این دوره، مطالعه سیستماتیک هندسه تصویری توسط ژیرار دسارگ (1591-1661) بود.  هندسه فرافکنی به بررسی خواص اشکالی می‌پردازد که در زیر بدون تغییر هستندطرح‌ها و بخش‌ها ، به‌ویژه که به دیدگاه هنری مربوط می‌شوند .

دو پیشرفت در هندسه در قرن نوزدهم روش مطالعه قبلی آن را تغییر داد.  اینها کشف هندسه های غیراقلیدسی توسط نیکولای ایوانوویچ لوباچفسکی، یانوس بولیای و کارل فردریش گاوس و فرمول بندی تقارن به عنوان ملاحظات اصلی در برنامه ارلانگن فلیکس کلاین (که اقلیدسی و غیر اقلیدسی را تعمیم داد) بود. ). دو تن از هندسه‌دانان چیره دست آن زمان برنهارد ریمان (1826-1866) بودند که عمدتاً با ابزارهایی از آنالیز ریاضی کار می‌کردند و سطح ریمان را معرفی می‌کردند ، و هانری پوانکاره ، بنیان‌گذارتوپولوژی جبری و نظریه هندسی سیستم های دینامیکی . در نتیجه این تغییرات عمده در مفهوم هندسه، مفهوم "فضا" به چیزی غنی و متنوع تبدیل شد و زمینه طبیعی تئوری هایی مانند تحلیل پیچیده و مکانیک کلاسیک متفاوت شد.

مفاهیم مهم اصلی

بدیهیات

اقلیدس در کتاب عناصر خود  که یکی از تأثیرگذارترین کتاب‌هایی است که تا کنون نوشته شده است ، رویکردی انتزاعی به هندسه داشت .  اقلیدس بدیهیات یا فرضیه های خاصی را معرفی کرد که ویژگی های اولیه یا بدیهی نقاط، خطوط و سطوح را بیان می کرد.  او با استدلال ریاضی به استنباط دقیق سایر خصوصیات پرداخت. ویژگی بارز رویکرد اقلیدس به هندسه سختی آن بود و به هندسه بدیهی یا ترکیبی معروف شد .  در آغاز قرن 19، کشف هندسه های غیر اقلیدسی توسطنیکولای ایوانوویچ لوباچفسکی (1792-1856)، یانوس بولیای (1802-1860)، کارل فردریش گاوس (1777-1855) و دیگران  منجر به احیای علاقه به این رشته شدند و در قرن بیستم، دیوید هیلبرت (186) -1943) از استدلال بدیهی در تلاش برای ارائه یک پایه مدرن از هندسه استفاده کرد.

ویژگی بارز رویکرد اقلیدس به هندسه سختی آن بود و به هندسه بدیهی یا ترکیبی معروف شد .  در آغاز قرن 19، کشف هندسه های غیر اقلیدسی توسطنیکولای ایوانوویچ لوباچفسکی (1792-1856)، یانوس بولیای (1802-1860)، کارل فردریش گاوس (1777-1855) و دیگران  منجر به احیای علاقه به این رشته شدند و در قرن بیستم، دیوید هیلبرت (186) -1943) از استدلال بدیهی در تلاش برای ارائه یک پایه مدرن از هندسه استفاده کرد.

اشیاء

نکته ها

نقاط عموماً اشیاء اساسی برای هندسه ساختمان در نظر گرفته می شوند. آنها ممکن است با خواصی که باید داشته باشند تعریف شوند، مانند تعریف اقلیدس به عنوان "آنچه که جزئی ندارد"  یا در هندسه مصنوعی . در ریاضیات مدرن، آنها به طور کلی به عنوان عناصر مجموعه ای به نام فضا تعریف می شوند که خود به صورت بدیهی تعریف شده است.

با این تعاریف مدرن، هر شکل هندسی به عنوان مجموعه ای از نقاط تعریف می شود. این مورد در هندسه مصنوعی نیست، جایی که یک خط یک شی بنیادی دیگر است که به عنوان مجموعه نقاطی که از آن عبور می کند دیده نمی شود.

با این حال، هندسه های مدرنی وجود دارد که در آن نقاط، اشیاء ابتدایی یا حتی بدون نقطه نیستند.  یکی از قدیمی‌ترین این هندسه‌ها، هندسه بدون نقطه وایتهد است که توسط آلفرد نورث وایتهد در سال‌های 1919-1920 فرموله شد.

خطوط

اقلیدس خطی را به عنوان "طول بی عرض" توصیف کرد که "به طور مساوی نسبت به نقاط روی خود قرار دارد".  در ریاضیات مدرن، با توجه به انبوه هندسه ها، مفهوم خط با نحوه توصیف هندسه پیوند نزدیکی دارد. به عنوان مثال، در هندسه تحلیلی ، یک خط در صفحه اغلب به عنوان مجموعه نقاطی تعریف می شود که مختصات آنها معادله خطی معینی را برآورده می کند ،  اما در یک محیط انتزاعی تر، مانند هندسه وقوع ، یک خط ممکن است یک شی مستقل باشد. ، متمایز از مجموعه نقاطی که روی آن قرار دارند.  ​​در هندسه دیفرانسیل، ژئودزیک تعمیم مفهوم خط بهفضاهای منحنی .

هواپیماها

در هندسه اقلیدسی، صفحه یک سطح صاف و دو بعدی است که تا بی نهایت امتداد دارد.  تعاریف برای انواع دیگر هندسه تعمیم آن است. صفحات در بسیاری از زمینه های هندسه استفاده می شوند. به عنوان مثال، صفحات را می توان به عنوان یک سطح توپولوژیکی بدون اشاره به فواصل یا زاویه مطالعه کرد.  می‌توان آن را به‌عنوان یک فضای نزدیک مورد مطالعه قرار داد ، جایی که همخطی‌ها و نسبت‌ها را می‌توان مطالعه کرد اما فاصله‌ها را نه.  می توان آن را به عنوان صفحه مختلط با استفاده از تکنیک های تحلیل پیچیده مطالعه کرد.  و غیره.

زاویه

اقلیدس زاویه صفحه را به عنوان تمایل به یکدیگر، در یک صفحه، از دو خط که یکدیگر را ملاقات می کنند و نسبت به یکدیگر مستقیم نیستند، تعریف می کند.  در اصطلاح امروزی، زاویه شکلی است که توسط دو پرتو تشکیل شده است ، که اضلاع زاویه نامیده می‌شوند و نقطه پایانی مشترکی دارند که به آن راس زاویه می‌گویند

زاویه مرکزی،محاطی،ظلی

اقلیدس زاویه صفحه را به عنوان تمایل به یکدیگر، در یک صفحه، از دو خط که یکدیگر را ملاقات می کنند و نسبت به یکدیگر مستقیم نیستند، تعریف می کند.  در اصطلاح امروزی، زاویه شکلی است که توسط دو پرتو تشکیل شده است ، که اضلاع زاویه نامیده می‌شوند و نقطه پایانی مشترکی دارند که به آن راس زاویه می‌گویند .

زوایای تند (الف)، مبهم (ب) و مستقیم (ج). زوایای تند و منفرد به زوایای مایل نیز معروف هستند.

در هندسه اقلیدسی ، از زاویه ها برای مطالعه چند ضلعی ها و مثلث ها و همچنین تشکیل یک شی مورد مطالعه به تنهایی استفاده می شود.  مطالعه زوایای یک مثلث یا زوایای یک دایره ، اساس مثلثات را تشکیل می دهد.

در هندسه دیفرانسیل و حساب دیفرانسیل و انتگرال ، زوایای بین منحنی های صفحه یا منحنی های فضایی یا سطوح را می توان با استفاده از مشتق محاسبه کرد .

منحنی ها

منحنی یک جسم 1 بعدی است که ممکن است مستقیم (مانند یک خط) باشد یا خیر. منحنی های فضای دوبعدی را منحنی های صفحه و منحنی های فضای سه بعدی را منحنی های فضایی می نامند .

در توپولوژی، منحنی با تابعی از بازه ای از اعداد واقعی تا فضای دیگر تعریف می شود.  در هندسه دیفرانسیل، از همان تعریف استفاده می‌شود، اما تابع تعریف کننده باید قابل تمایز باشد  هندسه جبری منحنی‌های جبری را مطالعه می‌کند که به عنوان انواع جبری بعد یک تعریف می‌شوند.

سطح

سطح یک کره

سطح یک جسم دو بعدی است، مانند کره یا پارابولوئید.  در هندسه دیفرانسیل  و توپولوژی ،  سطوح با «لکه‌های» دو بعدی (یا همسایگی‌ها ) توصیف می‌شوند که به ترتیب توسط دیفرمورفیسم‌ها یا همومورفیسم‌ها مونتاژ می‌شوند . در هندسه جبری، سطوح با معادلات چند جمله ای توصیف می شوند .

منیفولدها

منیفولد تعمیم مفاهیم منحنی و سطح است. در توپولوژی ، منیفولد فضای توپولوژیکی است که در آن هر نقطه دارای یک همسایگی است است که با فضای اقلیدسی همومورف است .  در هندسه دیفرانسیل ، منیفولد قابل تمایز فضایی است که در آن هر همسایگی با فضای اقلیدسی تفاوت دارد.

منیفولدها به طور گسترده در فیزیک از جمله در نسبیت عام و نظریه ریسمان استفاده می شوند.

طول، مساحت و حجم

طول ، مساحت و حجم به ترتیب اندازه یا وسعت یک جسم را در یک بعدی، دو بعدی و سه بعدی توصیف می کنند.

که در هندسه اقلیدسی و هندسه تحلیلی ، طول یک پاره خط را اغلب می توان با قضیه فیثاغورث محاسبه کرد .

مساحت و حجم را می توان به عنوان کمیت های اساسی جدا از طول تعریف کرد یا می توان آنها را بر حسب طول در یک صفحه یا فضای سه بعدی توصیف و محاسبه کرد.  ریاضیدانان فرمول های صریح بسیاری برای مساحت و فرمول های حجم اجسام مختلف هندسی یافته اند. در حساب دیفرانسیل و انتگرال ، مساحت و حجم را می توان بر حسب انتگرال تعریف کرد ، مانند انتگرال ریمان  یا انتگرال لبگ است.

معیارها و سنجش ها

مفهوم طول یا فاصله را می توان تعمیم داد و به ایده متریک منجر شد.  برای مثال، متریک اقلیدسی فاصله بین نقاط در صفحه اقلیدسی را اندازه‌گیری می‌کند ، در حالی که متریک هذلولی فاصله را در صفحه هذلولی اندازه‌گیری می‌کند . از دیگر نمونه‌های مهم معیارها می‌توان به متریک لورنتز نسبیت خاص و معیارهای نیمه ریمانی نسبیت عام اشاره کرد.

در جهتی متفاوت، مفاهیم طول، مساحت و حجم توسط تئوری اندازه گیری گسترش می یابد که روش های تعیین اندازه یا اندازه را مطالعه می کند. به مجموعه‌ها را مطالعه می‌کند، که در آن معیارها از قوانینی مشابه مساحت و حجم کلاسیک پیروی می‌کنند.

همخوانی و تشابه

همخوانی و شباهت مفاهیمی هستند که توصیف می کنند زمانی که دو شکل دارای ویژگی های مشابه هستند.  در هندسه اقلیدسی، از تشابه برای توصیف اشیایی استفاده می‌شود که شکل یکسانی دارند، در حالی که همخوانی برای توصیف اجسامی که از نظر اندازه و شکل یکسان هستند، استفاده می‌شود.  هیلبرت ، در کار خود در مورد ایجاد یک پایه دقیق تر برای هندسه، تطابق را به عنوان یک اصطلاح تعریف نشده که ویژگی های آن با بدیهیات تعریف می شود، در نظر گرفت .

همخوانی و شباهت در هندسه تبدیل تعمیم می یابد تعمیم می‌یابد، که به بررسی خواص اجسام هندسی می‌پردازد که توسط انواع مختلف تبدیل‌ها حفظ می‌شوند.

قطب نما و سازه های مستقیم

هندسه‌سنج‌های کلاسیک به ساخت اجسام هندسی که به گونه‌ای دیگر توصیف شده‌اند، توجه ویژه‌ای داشتند. به طور کلاسیک، تنها ابزاری که در بیشتر سازه‌های هندسی استفاده می‌شود، قطب‌نما و راسته است.  همچنین، هر ساخت و ساز باید در تعداد محدودی از مراحل تکمیل شود. با این حال، حل برخی از مشکلات به تنهایی با این ابزارها دشوار یا غیرممکن بود و ساختارهای مبتکرانه ای با استفاده از نئوسیس ، سهمی و سایر منحنی ها یا وسایل مکانیکی پیدا شد.

بعد،ابعاد،اندازه

جایی که هندسه سنتی ابعاد0(یک نقطه) 1 (یک خط )، 2 ( صفحه ) و 3 (فضا) مجاز می کرد، ریاضیدانان و فیزیکدانان تقریباً دو قرن از ابعاد بالاتر استفاده کرده اند.  یکی از نمونه‌های کاربرد ریاضی برای ابعاد بالاتر، فضای پیکربندی یک سیستم فیزیکی است که ابعادی برابر با درجه‌های آزادی سیستم دارد. به عنوان مثال، پیکربندی یک پیچ را می توان با پنج مختصات توصیف کرد.

در توپولوژی کلی ، مفهوم بعد از اعداد طبیعی به بعد بی نهایت ( مثلاً فضاهای هیلبرت ) و اعداد حقیقی مثبت (در هندسه فراکتال ) گسترش یافته است.  در هندسه جبری ، بعد یک تنوع جبری تعدادی تعاریف ظاهراً متفاوت دریافت کرده است که همه در رایج‌ترین موارد معادل هستند.

نقطه،خط،صفحه،فضا

نقطه

در هندسه کلاسیک اقلیدسی ، نقطه یک مفهوم ابتدایی است که مکان دقیقی را در فضا مدل می‌کند و طول، عرض یا ضخامت ندارد.  در ریاضیات مدرن ، یک نقطه به طور کلی به عنصری از مجموعه ای به نام فضا اشاره دارد.نقطه یک شی صفر بعدی است که با استفاده از آن فضای یک بعدی(خط)به وجود می آید

مفهوم ابتدایی بودن به این معنی است که یک نقطه را نمی توان بر حسب اشیاء تعریف شده قبلی تعریف کرد. به این معنا که یک نقطه فقط با برخی از ویژگی ها به نام بدیهیات تعریف می شود که باید آن ها را برآورده کند. به عنوان مثال، "دقیقا یک خط وجود دارد که از دو نقطه مختلف می گذرد" .

خط

خط، امتداد نقطه است.

بر اثر حرکت و امتداد یک نقطه بر صفحه در یک راستا، خط شکل می‌گیرد.

خط در هندسه به‌معنی اتصال یا امتداد دو نقطه-در یک راستا-بر روی سطح (صفحه) که سطح را تقسیم می‌کند. خط به‌طور مطلق از دو جهت، بی‌نهایت امتداد دارد. نیم‌خط از یک نقطه، آغاز می‌شود و از دیگر سو بی‌نهایت امتداد دارد و پاره‌خط از هر دو سو به دو نقطه، محدود است.

در هندسهٔ اقلیدسی، خط، عبارت است از کوتاه‌ترین مسیر بین دو نقطه که ممکن است از هر جهت بی‌نهایت امتداد پیدا کند. از سویی پاره‌خط کوتاه‌ترین مسیر بین دو نقطه است.با استفاده از خط می توان صفحه درست کرد

صفحه

به طور نامحدود گسترش می یابد.  صفحه آنالوگ دو بعدی یک نقطه (ابعاد صفر)، یک خط (یک بعدی) و فضای سه بعدی است . صفحات می توانند به عنوان زیرفضاهای فضایی با ابعاد بالاتر، مانند یکی از دیوارهای اتاق، بی نهایت گسترش یافته باشند، یا ممکن است به تنهایی از وجود مستقلی برخوردار شوند،

فضا

فضای سه بعدی (همچنین: فضای سه بعدی ، فضای سه بعدی یا به ندرت فضای سه بعدی ) یک تنظیم هندسی است که در آن سه مقدار (به نام پارامتر ) برای تعیین موقعیت یک عنصر (یعنی نقطه ) مورد نیاز است. این معنای غیر رسمی اصطلاح بعد است.

در ریاضیات ، چند عدد از n عدد را می توان به عنوان مختصات دکارتی یک مکان در فضای اقلیدسی n بعدی درک کرد. مجموعه این n- tuples معمولا نشان داده می شودو می توان آن را در فضای اقلیدسی n بعدی شناسایی کرد. وقتی n = 3 باشد، این فاصله فراخوانی می شودفضای اقلیدسی سه بعدی (یا به سادگی فضای اقلیدسی هنگامی که زمینه واضح است).  این به عنوان مدلی از جهان فیزیکی عمل می کند (زمانی که نظریه نسبیت در نظر گرفته نمی شود)، که در آن تمام ماده شناخته شده وجود دارد. در حالی که این فضا متقاعدکننده‌ترین و مفیدترین راه برای مدل‌سازی جهان آن‌گونه که تجربه می‌شود، باقی می‌ماند،  تنها نمونه‌ای از تنوع زیادی از فضاها در سه بعدی به نام 3 منیفولد است . در این مثال کلاسیک، هنگامی که سه مقدار به اندازه گیری در جهات مختلف ( مختصات ) اشاره دارد، هر سه جهت را می توان انتخاب کرد، مشروط بر اینکه بردارهادر این جهات همه در یک فضای 2 ( صفحه ) قرار نمی گیرند. علاوه بر این، در این مورد، این سه مقدار را می توان با هر ترکیبی از سه مورد انتخاب شده از عبارات عرض / عرض ، ارتفاع / عمق و طول برچسب گذاری کرد.

تقارن

قدمت موضوع تقارن در هندسه به اندازه خود علم هندسه است.  اشکال متقارن مانند دایره ، چند ضلعی های منظم و جامدات افلاطونی اهمیت عمیقی برای بسیاری از فیلسوفان باستان داشتند  و قبل از زمان اقلیدس به تفصیل مورد بررسی قرار گرفتند.  الگوهای متقارن در طبیعت اتفاق می‌افتند و به صورت هنرمندانه در بسیاری از اشکال، از جمله گرافیک لئوناردو داوینچی ، ام سی اسچر ، و دیگران ارائه شده‌اند.  در نیمه دوم قرن 19، رابطه بین تقارن و هندسه مورد بررسی شدید قرار گرفت.برنامه ارلانگن فلیکس کلاین اعلام کرد که به معنای بسیار دقیق، تقارن، که از طریق مفهوم گروه تبدیل بیان می شود، تعیین می کند که هندسه چیست .  تقارن در هندسه کلاسیک اقلیدسی با همخوانی‌ها و حرکات صلب نشان داده می‌شود ، در حالی که در هندسه تصویری نقش مشابهی توسط تلاقی‌ها ، تبدیل‌های هندسی ایفا می‌شود که خطوط مستقیم را به خطوط مستقیم تبدیل می‌کنند.  اما در هندسه‌های جدید بولیایی و لوباچفسکی، ریمان، کلیفورد و کلاین، و سوفوس لی وجود داشت.ایده کلاین برای «تعریف هندسه از طریق گروه تقارن آن » الهام گرفته شده است.  هر دو تقارن گسسته و پیوسته نقش برجسته ای در هندسه دارند، اولی در توپولوژی و نظریه گروه هندسی ،  دومی در نظریه دروغ و هندسه ریمانی .

نوع متفاوتی از تقارن، اصل دوگانگی در هندسه تصویری ، در میان زمینه‌های دیگر است. این فراپدیده را می‌توان تقریباً به این صورت توصیف کرد: در هر قضیه ، نقطه مبادله با صفحه ، پیوستن به meet ، نهفته در با حاوی ، و نتیجه یک قضیه به همان اندازه درست است.  شکل مشابه و نزدیک به دوگانگی بین فضای برداری و فضای دوگانه آن وجود دارد.

برنامه های کاربری

هندسه در بسیاری از زمینه ها کاربرد پیدا کرده است که در زیر به برخی از آنها اشاره می شود.

هنر

ریاضیات و هنر به طرق مختلفی با هم مرتبط هستند. برای مثال، تئوری پرسپکتیو نشان داد که هندسه چیزی بیش از ویژگی‌های متریک شکل‌ها دارد: پرسپکتیو منشأ هندسه تصویری است .

هنرمندان مدت‌هاست که از مفاهیم تناسب در طراحی استفاده می‌کنند. ویتروویوس یک نظریه پیچیده از تناسبات ایده آل برای پیکر انسان ایجاد کرد.  این مفاهیم توسط هنرمندانی از میکل آنژ تا هنرمندان کمیک بوک مدرن استفاده و اقتباس شده است.

نسبت طلایی نسبت خاصی است که نقشی بحث برانگیز در هنر داشته است. اغلب ادعا می‌شود که از نظر زیبایی‌شناختی دلپذیرترین نسبت طول است، اغلب گفته می‌شود که در آثار هنری معروف گنجانده شده است، اگرچه قابل‌اعتمادترین و بدون ابهام‌ترین نمونه‌ها عمداً توسط هنرمندان آگاه از این افسانه ساخته شده است.

کاشی کاری یا تزیینات در طول تاریخ در هنر استفاده شده است. هنر اسلامی مانند هنر MC Escher به طور مکرر از تسلیحات استفاده می کند .  کار اشر همچنین از هندسه هذلولی استفاده کرد.

سزان این نظریه را مطرح کرد که همه تصاویر را می توان از کره ، مخروط و استوانه ساخت . این هنوز هم امروزه در تئوری هنر استفاده می شود، اگرچه فهرست دقیق اشکال از نویسنده ای به نویسنده دیگر متفاوت است.

معماری

هندسه کاربردهای زیادی در معماری دارد. در واقع، گفته شده است که هندسه در هسته طراحی معماری قرار دارد.  کاربردهای هندسه در معماری شامل استفاده از هندسه تصویری برای ایجاد پرسپکتیو اجباری ،  استفاده از مقاطع مخروطی در ساخت گنبدها و اشیاء مشابه،  استفاده از تسلسل ،  و استفاده از تقارن

فیزیک

حوزه نجوم ، به ویژه از آنجایی که به نقشه برداری از موقعیت ستارگان و سیارات در کره سماوی و توصیف رابطه بین حرکات اجرام سماوی مربوط می شود، به عنوان منبع مهمی از مشکلات هندسی در طول تاریخ خدمت کرده است.

هندسه ریمانی و هندسه شبه ریمانی در نسبیت عام استفاده می شود .  نظریه ریسمان از چندین نوع هندسه استفاده می کند،  و همچنین نظریه اطلاعات کوانتومی .

منابع

1. ویکی پدیای انگلیسی

آنالیز ریاضی

آنالیز ریاضی بخش‌هایی از ریاضیات است که با مفاهیم حد و همگرایی مربوط‌اند و در آن‌ها موضوعاتی مثل پیوستگی و انتگرال‌گیری و مشتق‌پذیری و توابع غیرجبری بررسی می‌شود. این موضوعات را معمولاً در عرصه‌ی اعداد حقیقی یا اعداد مختلط و توابع مربوط به آن‌ها بحث می‌کنند ولی می‌توان آن‌ها را در هر فضائی از موجودات ریاضی که در آن مفهوم "نزدیکی" (فضای توپولوژیک) یا "فاصله" (فضای متریک) وجود دارد به‌ کار برد. آنالیز ریاضی از کوشش‌های مربوط به دقیق کردن مبانی و تعریف‌های حسابان سر برآورده است.

یک جاذب شگفت ناشی از معادله دیفرانسیل. معادلات دیفرانسیل بخش مهمی از آنالیز ریاضی؛ با بسیاری از برنامه‌های کاربردی در علم و مهندسی است.آنالیز با استفاده ار انتگرال،هندسه،معادله دیفرانسیل حل و بررسی می شود.

این نظریه ها معمولاً در زمینه اعداد و توابع حقیقی و مختلط مورد مطالعه قرار می گیرند . تجزیه و تحلیل از حساب دیفرانسیل و انتگرال ، که شامل مفاهیم اولیه و تکنیک های تجزیه و تحلیل است، تکامل یافته است. تجزیه و تحلیل را می توان از هندسه متمایز کرد . با این حال، می توان آن را برای هر فضایی از اشیاء ریاضی که تعریفی از نزدیکی (یک فضای توپولوژیکی) یا فواصل خاص بین اشیاء (یک فضای متریک) دارد، اعمال کرد.

تاریخچه

ارشمیدس از روش فرسودگی برای محاسبه مساحت داخل دایره با یافتن مساحت چندضلعی‌های منظم با اضلاع بیشتر و بیشتر استفاده کرد. این یک مثال اولیه اما غیررسمی از حد بود، یکی از اساسی‌ترین مفاهیم در تجزیه و تحلیل ریاضی.

کهن

تجزیه و تحلیل ریاضی به طور رسمی در قرن هفدهم در طول انقلاب علمی توسعه یافت ،  اما بسیاری از ایده های آن را می توان به ریاضیدانان قبلی ردیابی کرد. نتایج اولیه در تجزیه و تحلیل به طور ضمنی در روزهای اولیه ریاضیات یونان باستان وجود داشت. به عنوان مثال، یک مجموع هندسی نامتناهی در پارادوکس زنو از دوگانگی ضمنی است .  بعدها، ریاضیدانان یونانی مانند ادوکسوس و ارشمیدس زمانی که از روش فرسودگی استفاده کردند، از مفاهیم حدود و همگرایی صریح تر، اما غیررسمی استفاده کردند.برای محاسبه مساحت و حجم مناطق و جامدات. استفاده صریح از بی‌نهایت‌ها در روش قضایای مکانیکی ارشمیدس ، اثری که در قرن بیستم دوباره کشف شد، ظاهر می‌شود. در آسیا، ریاضیدان چینی لیو هوی از روش خستگی در قرن سوم پس از میلاد برای یافتن مساحت دایره استفاده کرد.  از ادبیات جین، چنین به نظر می رسد که هندوها در اوایل قرن چهارم قبل از میلاد ، فرمول های جمع سری های حسابی و هندسی را در اختیار داشتند  آکاریا بهدراباهو از مجموع یک سری هندسی در کالپسوترا خود در سال 433 استفاده می کند. قبل از میلاد در ریاضیات هندی ، نمونه های خاصی از سری های حسابی به طور ضمنی در ادبیات ودایی در اوایل 2000 قبل از میلاد یافت شده است.

قرون وسطی

زو چونگجی روشی را ایجاد کرد که بعداً به عنوان اصل کاوالیری برای یافتن حجم یک کره در قرن پنجم نام گرفت. در قرن دوازدهم، ریاضی‌دان هندی بهاسکارای دوم نمونه‌هایی از مشتقات ارائه کرد و از آنچه امروزه به عنوان قضیه رول شناخته می‌شود، استفاده کرد.

در قرن چهاردهم، مادهاوا از سانگاماگراما توابعی مانند سینوس ، کسینوس ، مماس و قطبی را توسعه داد که اکنون سری تیلور نامیده می شود. در کنار توسعه سری توابع مثلثاتی تیلور ، او همچنین بزرگی عبارات خطای حاصل از کوتاه کردن این سری‌ها را تخمین زد و یک تقریب منطقی از تعدادی سری نامتناهی ارائه کرد. پیروان او در مدرسه نجوم و ریاضیات کرالا آثار او را تا قرن شانزدهم بیشتر گسترش دادند.

نوین

پایه ها

مبانی مدرن تجزیه و تحلیل ریاضی در قرن هفدهم اروپا پایه‌گذاری شد. این زمانی آغاز شد که فرما و دکارت هندسه تحلیلی را توسعه دادند، که پیشروی حساب مدرن است. روش کفایی فرما به او اجازه داد حداکثر و حداقل توابع و مماس منحنی ها را تعیین کند.  انتشار دکارت از La Géométrie در سال 1637، که سیستم مختصات دکارتی را معرفی کرد ، به عنوان ایجاد تجزیه و تحلیل ریاضی در نظر گرفته می شود. چند دهه بعد بود که نیوتن و لایب نیتس به طور مستقل توسعه یافتندحساب بی نهایت کوچک ، که با محرک کار کاربردی که تا قرن 18 ادامه یافت، به مباحث تحلیلی مانند حساب تغییرات، معادلات دیفرانسیل معمولی و جزئی ، تحلیل فوریه، و توابع تولیدی تبدیل شد. در این دوره، تکنیک‌های حساب دیفرانسیل و انتگرال برای تقریب مسائل گسسته توسط مسایل پیوسته استفاده شد.

نوسازیویرایش کنید

در قرن هجدهم، اویلر مفهوم تابع ریاضی را معرفی کرد. زمانی که برنارد بولزانو تعریف مدرن تداوم را در سال 1816 ارائه کرد، تحلیل واقعی به عنوان یک موضوع مستقل شروع به ظهور کرد ،  اما کار بولزانو تا دهه 1870 به طور گسترده ای شناخته نشد. در سال 1821، کوشی با رد اصل عمومیت جبر که به طور گسترده در کارهای قبلی، به ویژه توسط اویلر، استفاده می شد، شروع به قرار دادن حساب بر روی یک پایه منطقی محکم کرد. در عوض، کوشی حساب دیفرانسیل و انتگرال را بر اساس ایده های هندسی و بی نهایت کوچک فرموله کرد . بنابراین، تعریف او از تداوم مستلزم تغییر بی نهایت کوچک در x بودبرای مطابقت با یک تغییر بی نهایت کوچک در y . او همچنین مفهوم دنباله کوشی را معرفی کرد و نظریه رسمی تحلیل پیچیده را آغاز کرد . پواسون , لیوویل , فوریه و دیگران معادلات دیفرانسیل جزئی و آنالیز هارمونیک را مطالعه کردند . مشارکت این ریاضیدانان و دیگران، مانند وایرشتراس ، (ε، δ) -تعریف رویکرد حد را توسعه دادند، بنابراین زمینه مدرن تجزیه و تحلیل ریاضی را پایه‌گذاری کردند.

در اواسط قرن نوزدهم، ریمان نظریه ادغام خود را مطرح کرد . در ثلث آخر قرن، وایرشتراس ، تحلیل را حساب کرد ، که فکر می‌کرد استدلال هندسی ذاتاً گمراه‌کننده است، و تعریف «epsilon-delta» از حد را ارائه کرد. سپس، ریاضیدانان شروع به نگرانی کردند که آنها وجود زنجیره ای از اعداد واقعی را بدون اثبات فرض می کنند. سپس ددکیند اعداد واقعی را با برش های ددکیند ساخت، که در آن اعداد غیر منطقی به طور رسمی تعریف می شوند، که برای پر کردن "شکاف" بین اعداد گویا، در نتیجه یک مجموعه کامل ایجاد می کنند: زنجیره اعداد واقعی، که قبلاً توسط سیمون استوین بر حسب بسط های اعشاری ایجاد شده بود. در همان زمان، تلاش‌ها برای اصلاح قضایای ادغام ریمان منجر به مطالعه «اندازه» مجموعه ناپیوستگی‌های توابع واقعی شد.

همچنین، " هیولاها " ( هیچ جا توابع پیوسته ، توابع پیوسته اما هیچ جا قابل تمایز ، منحنی های پرکننده فضا ) شروع به بررسی کردند. در این زمینه، جردن نظریه اندازه گیری خود را توسعه داد ، کانتور آنچه را که امروزه نظریه مجموعه ساده لوح نامیده می شود ، و بایر قضیه دسته بایر را اثبات کرد . در اوایل قرن بیستم، حساب دیفرانسیل و انتگرال با استفاده از نظریه مجموعه‌های بدیهی رسمیت یافت . Lebesgue مشکل اندازه گیری را حل کرد و هیلبرت فضاهای هیلبرت را برای حل معرفی کردمعادلات انتگرال . ایده فضای برداری هنجاری در هوا بود، و در دهه 1920، Banach تجزیه و تحلیل عملکردی را ایجاد کرد.

مفاهیم مهم

فضاهای متریک

در ریاضیات ، فضای متریک مجموعه‌ای است که در آن مفهوم فاصله (به نام متریک ) بین عناصر مجموعه تعریف می‌شود.

بسیاری از تحلیل ها در فضای متریک اتفاق می افتد. متداول ترین آنها عبارتند از: خط واقعی ، صفحه مختلط ، فضای اقلیدسی ، سایر فضاهای برداری و اعداد صحیح . نمونه‌هایی از تجزیه و تحلیل بدون متریک شامل نظریه اندازه‌گیری (که اندازه را به جای فاصله توصیف می‌کند) و تحلیل عملکردی (که فضاهای برداری توپولوژیکی را که نیازی به احساس فاصله ندارند، مطالعه می‌کند).

به طور رسمی، یک فضای متریک یک جفت مرتب شده است(M,d) جایی کهMیک مجموعه است وdیک متریک در است، پسM یک تابع است.

$d\colon M\times M\rightarrow \mathbb {R}$

به طوری که برای هر$x,y,z\in M$ موارد زیر صادق است:

( هویت غیر قابل تشخیص ها) $d(x,y)=0$ ( تقارن ) $d(x,y)=d(y,x)$ ( نابرابری مثلث ) $d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$ با گرفتن ملک سوم و اجاره، می توان نشان داد که$d(x,y)\geq 0$ ( غیر منفی ).

توالی ها و محدودیت

دنباله یک لیست مرتب شده است. مانند یک مجموعه ، شامل اعضایی است (که عناصر یا اصطلاحات نیز نامیده می شوند ). برخلاف یک مجموعه، نظم مهم است و دقیقاً همان عناصر می توانند چندین بار در موقعیت های مختلف دنباله ظاهر شوند. به طور دقیق تر، یک دنباله را می توان به عنوان تابعی تعریف کرد که دامنه آن یک مجموعه کاملاً مرتب قابل شمارش است، مانند اعداد طبیعی .

یکی از مهمترین ویژگی های یک دنباله همگرایی است . به طور غیررسمی، یک دنباله اگر حدی داشته باشد همگرا می شود . در ادامه غیررسمی، یک دنباله ( منفرد-بی نهایت ) اگر به نقطه x نزدیک شود که حد نامیده می شود، محدودیتی دارد، زیرا n بسیار بزرگ می شود. یعنی برای یک دنباله انتزاعی ( a n ) (که n از 1 تا بی نهایت قابل درک است) فاصله بین a n و x به 0 نزدیک می شود که n → ∞ نشان داده شده است.

$\lim _{n\to \infty }a_{n}=x.$

شاخه های اصلی

تحلیل واقعی

تحلیل واقعی (به طور سنتی، نظریه توابع یک متغیر واقعی ) شاخه ای از تحلیل ریاضی است که با اعداد واقعی و توابع با ارزش واقعی یک متغیر واقعی سروکار دارد.  به طور خاص، به ویژگی های تحلیلی توابع و دنباله های واقعی ، از جمله همگرایی و حدود دنباله های اعداد حقیقی، حساب اعداد حقیقی، و تداوم ، همواری و ویژگی های مرتبط توابع با ارزش واقعی می پردازد . .

تحلیل پیچیده

تجزیه و تحلیل مختلط (به طور سنتی به عنوان نظریه توابع یک متغیر مختلط شناخته می شود) شاخه ای از تجزیه و تحلیل ریاضی است که به بررسی توابع اعداد مختلط می پردازد.  در بسیاری از شاخه های ریاضیات، از جمله هندسه جبری ، نظریه اعداد ، ریاضیات کاربردی مفید است . و همچنین در فیزیک ، از جمله هیدرودینامیک ، ترمودینامیک ، مهندسی مکانیک ، مهندسی برق ، و به ویژه، نظریه میدان کوانتومی .

تحلیل پیچیده به ویژه با توابع تحلیلی متغیرهای پیچیده (یا به طور کلی تر، توابع مرومورفیک ) سروکار دارد. از آنجایی که بخش های واقعی و خیالی مجزای هر تابع تحلیلی باید معادله لاپلاس را برآورده کند ، تحلیل پیچیده به طور گسترده برای مسائل دو بعدی در فیزیک قابل استفاده است .

تجزیه و تحلیل عملکردو

آنالیز تابعی شاخه ای از تحلیل ریاضی است که هسته آن با مطالعه فضاهای برداری که دارای نوعی ساختار مرتبط با حد هستند (مثلاً حاصل ضرب درونی ، هنجار ، توپولوژی و غیره) و عملگرهای خطی بر روی این فضاها تشکیل می شود و احترام به این ساختارها به معنای مناسب. ریشه های تاریخی تحلیل تابعی در مطالعه فضاهای توابع و فرمول بندی ویژگی های تبدیل توابع مانند تبدیل فوریه به عنوان تبدیل هایی است که پیوسته و واحد را تعریف می کنند.و غیره عملگرهای بین فضاهای تابع. این دیدگاه مشخص شد که برای مطالعه معادلات دیفرانسیل و انتگرال مفید است.

تحلیل هارمونیک

آنالیز هارمونیک شاخه ای از آنالیز ریاضی است که به نمایش توابع و سیگنال ها به عنوان برهم نهی امواج اساسی می پردازد. این شامل مطالعه مفاهیم سری فوریه و تبدیل فوریه ( تحلیل فوریه ) و تعمیم آنها است. تجزیه و تحلیل هارمونیک در زمینه های مختلفی مانند تئوری موسیقی ، نظریه اعداد ، نظریه نمایش ، پردازش سیگنال ، مکانیک کوانتومی ، تجزیه و تحلیل جزر و مد و علوم اعصاب کاربرد دارد.

معادلات دیفرانسیل

معادله دیفرانسیل یک معادله ریاضی برای یک تابع مجهول از یک یا چند متغیر است که مقادیر خود تابع و مشتقات آن از مرتبه های مختلف را به هم مرتبط می کند.  معادلات دیفرانسیل نقش برجسته ای در مهندسی ، فیزیک ، اقتصاد ، زیست شناسی و سایر رشته ها ایفا می کنند.

معادلات دیفرانسیل در بسیاری از حوزه‌های علم و فناوری به وجود می‌آیند، به‌ویژه زمانی که یک رابطه قطعی شامل مقادیری پیوسته متغیر (مدل‌سازی شده با توابع) و نرخ‌های تغییر آن‌ها در مکان یا زمان (بیان شده به عنوان مشتقات) شناخته یا فرض شود. این در مکانیک کلاسیک نشان داده شده است ، جایی که حرکت یک جسم با موقعیت و سرعت آن با تغییر مقدار زمان توصیف می‌شود. قوانین نیوتن به شخص اجازه می دهد (با توجه به موقعیت، سرعت، شتاب و نیروهای مختلف وارد بر جسم) این متغیرها را به صورت دینامیکی به عنوان یک معادله دیفرانسیل برای موقعیت مجهول جسم به عنوان تابعی از زمان بیان کند. در برخی موارد، این معادله دیفرانسیل (که معادله حرکت نامیده می شود) ممکن است به صراحت حل شود.

تئوری اندازه گیری

اندازه گیری در یک مجموعه روشی سیستماتیک برای اختصاص یک عدد به هر زیر مجموعه مناسب از آن مجموعه است که به طور شهودی به عنوان اندازه آن تفسیر می شود.  در این معنا، معیار تعمیم مفاهیم طول، مساحت و حجم است. یک مثال مهم، اندازه گیری Lebesgue در فضای اقلیدسی است که طول ، مساحت و حجم معمولی هندسه اقلیدسی را به زیرمجموعه های مناسب نسبت می دهد.فضای اقلیدسی بعدی. به عنوان مثال، اندازه گیری Lebesgue از فاصله در اعداد واقعی طول آن به معنای روزمره کلمه است - به طور خاص، 1.

از نظر فنی، یک اندازه گیری تابعی است که یک عدد واقعی غیر منفی یا +∞ را به زیرمجموعه های (بعضی) یک مجموعه اختصاص می دهد.. باید 0 را به مجموعه خالی اختصاص دهد و ( قابل شمارش ) جمعی باشد: اندازه یک زیر مجموعه "بزرگ" که می تواند به تعداد محدود (یا قابل شمارش) از زیر مجموعه های ناهمگون "کوچکتر" تجزیه شود، مجموع مقادیر زیر مجموعه های "کوچکتر". به طور کلی، اگر کسی بخواهد یک اندازه ثابت را به هر زیر مجموعه از یک مجموعه معین مرتبط کند و در عین حال سایر بدیهیات یک اندازه گیری را برآورده کند، فقط نمونه های بی اهمیتی مانند معیار شمارش را پیدا می کند . این مشکل با تعریف اندازه گیری فقط در زیر مجموعه ای از همه زیر مجموعه ها حل شد. به اصطلاح زیر مجموعه های قابل اندازه گیری که برای تشکیل الف مورد نیاز است-جبر . این بدان معنی است که اتحادیه های قابل شمارش، تقاطع های قابل شمارش و مکمل های زیر مجموعه های قابل اندازه گیری قابل اندازه گیری هستند. مجموعه‌های غیرقابل اندازه‌گیری در فضای اقلیدسی، که معیار لبگ را نمی‌توان به‌طور پیوسته بر اساس آن‌ها تعریف کرد، لزوماً به این معنا که به شدت با مکمل‌شان مخلوط می‌شوند، پیچیده هستند. در واقع، وجود آنها پیامد غیر پیش پا افتاده اصل انتخاب است.

تحلیل عددی

تحلیل عددی مطالعه الگوریتم‌هایی است که از تقریب عددی (برخلاف دستکاری‌های نمادین عمومی ) برای مسائل آنالیز ریاضی (که از ریاضیات گسسته متمایز می‌شوند ) استفاده می‌کنند.

تجزیه و تحلیل عددی مدرن به دنبال پاسخ های دقیق نیست، زیرا اغلب به دست آوردن پاسخ های دقیق در عمل غیرممکن است. در عوض، بسیاری از تحلیل‌های عددی به دستیابی به راه‌حل‌های تقریبی و در عین حال حفظ مرزهای منطقی در خطاها مربوط می‌شود.

تجزیه و تحلیل عددی به طور طبیعی در همه زمینه های مهندسی و علوم فیزیکی کاربرد دارد، اما در قرن بیست و یکم، علوم زیستی و حتی هنرها عناصر محاسبات علمی را به کار گرفته اند. معادلات دیفرانسیل معمولی در مکانیک سماوی (سیاره ها، ستاره ها و کهکشان ها) ظاهر می شوند. جبر خطی عددی برای تجزیه و تحلیل داده ها مهم است. معادلات دیفرانسیل تصادفی و زنجیره های مارکوف در شبیه سازی سلول های زنده برای پزشکی و زیست شناسی ضروری هستند.

تحلیل برداری

آنالیز برداری شاخه ای از آنالیز ریاضی است که با مقادیری که هم اندازه و هم جهت دارند سروکار دارد. برخی از نمونه های بردار عبارتند از سرعت، نیرو و جابجایی. بردارها معمولاً با اسکالرها همراه هستند، مقادیری که بزرگی را توصیف می کنند.

تحلیل اسکالر

آنالیز اسکالر شاخه‌ای از تحلیل ریاضی است که با مقادیر مربوط به مقیاس بر خلاف جهت سروکار دارد. مقادیری مانند دما اسکالر هستند زیرا بزرگی یک مقدار را بدون توجه به جهت، نیرو یا جابجایی که مقدار ممکن است داشته باشد یا نداشته باشد، توصیف می کنند.

منابع

ویکی پدیای فارسی

ویکی پدیای انگلیسی

آمار و احتمال

آمار و احتمال دو مبحثی از ریاضیات هستند که از مفاهیم گسسته هستند و درمورد شانس ها، محاسبات نموداری و... می پردازد

تعریف آمار

آمار (در ایران) (به انگلیسی: Statistics) (به فرانسوی: Statistiques) یا احصائیه (در افغانستان) شاخه‌ای از ریاضیات است که به گردآوری، تحلیل، و ارائه داده‌ها می‌پردازد. آمار را باید علم استخراج و توسعهٔ دانشهای تجربی انسانی با استفاده از روش‌های گردآوری و تحلیل داده‌های تجربی (حاصل از اندازه‌گیری و آزمایش) دانست. روش‌های محاسباتی جدیدتر توسط رایانه همچون یادگیری ماشینی، و کاوش‌های ماشینی در داده‌ها، در واقع، امتداد و گسترش دانش آمار به عهد محاسبات نو و دوران اعمال شیوه‌های ماشینی بوده و امروزه علم آمار را به علم بیان علوم دیگر مبدل ساخته‌است.

در صورتی که شاخه‌ای علمی مد نظر نباشد، معنای آن، داده‌هایی به‌شکل ارقام و اعداد واقعی یا تقریبی است که با استفاده از علم آمار می‌توان با آن‌ها رفتار کرد و عملیات ذکر شده در بالا را بر آن‌ها انجام داد. بیشتر مردم با کلمه آمار به مفهومی که برای ثبت و نمایش اطلاعات عددی به کار می‌رود آشنا هستند؛ ولی این مفهوم منطبق با موضوع اصلی مورد بحث آمار نیست. آمار عمدتاً با وضعیت‌هایی سر و کار دارد که در آن‌ها وقوع یک پیشامد به‌طور حتمی قابل پیش‌بینی نیست. اسنتاج‌های آماری غالباً غیر حتمی اند، زیرا مبتنی بر اطلاعات ناکاملی هستند. در طول چندین دهه آمار فقط با بیان اطلاعات و مقادیر عددی دربارهٔ اقتصاد و جمعیت‌شناسی در یک کشور سر و کار داشت. حتی امروز بسیاری از نشریات و گزارش‌های دولتی که توده‌ای از آمار و ارقام را دربردارند معنی اولیه کلمه آمار را در ذهن زنده می‌کنند. اکثر افراد معمولی هنوز این تصویر غلط را دربارهٔ آمار دارند که آن را منحصر به ستون‌های عددی سرگیجه‌آور و اشکال مبهوت‌کننده می‌دانند؛ بنابراین، یادآوری این نکته ضروری است که نظریه و روش‌های جدید آماری از حد ساختن جدول‌های اعداد و نمودارها بسیار فراتر رفته‌اند. آمار به عنوان یک موضوع علمی، امروزه شامل مفاهیم و روش‌هایی است که در تمام پژوهشهایی که مستلزم جمع‌آوری داده‌ها به وسیله یک فرایند آزمایش و مشاهده و انجام استنباط و نتیجه‌گیری به وسیله تجزیه و تحلیل این داده‌ها هستند اهمیت بسیار دارند.

علم آمار

علم آمار، مبتنی است بر دو شاخه آمار توصیفی و آمار استنباطی. در آمار توصیفی با داشتن تمام اعضا جامعه به بررسی خصوصیت‌های آماری آن پرداخته می‌شود در حالی که در آمار استنباطی با بدست آوردن نمونه‌ای از جامعه که خصوصیات اصلی جامعه را بیان می‌کند در مورد جامعه استباط آماری انجام می‌شود. در نظریهٔ آمار، اتفاقات تصادفی و عدم قطعیت توسط نظریهٔ احتمالات مدل‌سازی می‌شوند. در این علم، مطالعه و قضاوت معقول در بارهٔ موضوع‌های گوناگون، بر مبنای یک نمونه انجام می‌شود و قضاوت در مورد یک فرد خاص، اصلاً مطرح نیست.

از جملهٔ مهم‌ترین اهداف آمار، می‌توان تولید «بهترین» اطّلاعات از داده‌های موجود و سپس استخراج دانش از آن اطّلاعات را ذکر کرد. به همین سبب است که برخی از منابع، آمار را شاخه‌ای از نظریه تصمیم‌ها به‌شمار می‌آورند.

از طرف دیگر می‌توان آن را به دو بخش آمار کلاسیک و آمار بیز (Bayesian) تقسیم‌بندی کرد. در آمار کلاسیک، ابتدا آزمایش و نتیجه را داریم و بعد بر اساس آن‌ها فرض‌ها را آزمون می‌کنیم. به عبارت دیگر ابتدا آزمایش انجام می‌شود و بعد فرض آزمون می‌گردد. در آمار بیزی ابتدا فرض در نظر گرفته می‌شود و داده‌ها با آن مطابقت داده می‌شوند به عبارت دیگر در آمار بیزی یک پیش داریم-توزیع پیشین- و بعد از مطالعه داده‌ها و برای رسیدن به آن توزیع پیشین، توزیع پسین را در نظر می‌گیریم.

علم آمار یکی از علوم مرتبط با علم داده‌ها است.

تاریخ

بحث های رسمی در مورد استنتاج به ریاضیدانان و رمزنگاران عرب ، در دوران طلایی اسلامی بین قرن های 8 و 13 باز می گردد . الخلیل (717-786) کتاب پیام های رمزی را نوشت که شامل یکی از اولین کاربردهای جابجایی و ترکیب است تا همه کلمات ممکن عربی را با و بدون مصوت فهرست کند. [15] کتاب خطی الکندی در مورد رمزگشایی پیام های رمزنگاری شده شرح مفصلی از نحوه استفاده از تجزیه و تحلیل فرکانس برای رمزگشایی پیام های رمزگذاری شده ارائه می دهد و نمونه اولیه ای از استنتاج آماری برای رمزگشایی ابن عدلان (1187-1268) بعدها سهم مهمی در استفاده از اندازه نمونه در تحلیل بسامدی داشت.

کاربردهای اولیه تفکر آماری حول نیاز دولت‌ها برای استناد به سیاست‌ها بر اساس داده‌های جمعیت‌شناختی و اقتصادی بود، از این رو ریشه‌شناسی آن . دامنه رشته آمار در اوایل قرن 19 گسترش یافت و شامل جمع آوری و تجزیه و تحلیل داده ها به طور کلی شد. امروزه آمار به طور گسترده در دولت، تجارت و علوم طبیعی و اجتماعی به کار گرفته می شود.

مبانی ریاضی آمار از بحث های مربوط به بازی های شانسی در بین ریاضیدانانی مانند جرولامو کاردانو ، بلز پاسکال ، پیر دو فرما ، و کریستیان هویگنس ایجاد شد . اگرچه ایده احتمال قبلاً در حقوق و فلسفه باستان و قرون وسطی (مانند کار خوان کاراموئل ) بررسی شده بود، نظریه احتمال به عنوان یک رشته ریاضی تنها در اواخر قرن هفدهم شکل گرفت، به ویژه در اثر پس از مرگ یاکوب برنولی Ars . کنجکتندی .این اولین کتابی بود که در آن قلمرو بازی‌های شانس و قلمرو احتمالات (که مربوط به نظر، شواهد و استدلال بود) با هم ترکیب شدند و به تحلیل ریاضی ارائه شدند.روش حداقل مربعات برای اولین بار توسط آدرین ماری لژاندر در سال 1805 توصیف شد ، اگرچه کارل فردریش گاوس احتمالاً یک دهه قبل از آن در سال 1795 از آن استفاده کرد.

تعریف احتمال

به‌طور ساده، احتمالات (به انگلیسی: Probability) به شانس وقوع یک حادثه گفته می‌شود.

احتمال معمولاً مورد استفاده برای توصیف نگرش ذهن نسبت به گزاره‌هایی است که ما از حقیقت آن‌ها مطمئن نیستیم. گزاره‌های مورد نظر معمولاً از فرم "آیا یک رویداد خاص رخ می‌دهد؟" و نگرش ذهن ما از فرم "چقدر اطمینان داریم که این رویداد رخ خواهد داد؟" است. میزان اطمینان ما، قابل توصیف به صورت عددی می‌باشد که این عدد مقداری بین ۰ و ۱ را گرفته و آن را احتمال می نامیم. هر چه احتمال یک رویداد بیشتر باشد، ما مطمئن تر خواهیم بود که آن رویداد رخ خواهد داد. در واقع میزان اطمینان ما از اینکه یک واقعه (تصادفی) اتفاق خواهد افتاد.

نظریهٔ احتمالات

نظریهٔ احتمالات به شاخه‌ای از ریاضیات گویند که با تحلیل وقایع تصادفی سروکار دارد.

مانند دیگر نظریه‌ها، نظریه احتمال نمایشی از مفاهیم احتمال به صورت شرایط صوری (فرمولی) است – شرایطی که می‌تواند به‌طور جدا از معنای خود در نظر گرفته شود. این فرمولبندی صوری توسط قوانین ریاضی و منطق دستکاری، و نتیجه‌های حاصله، تفسیر یا دوباره به دامنه مسئله ترجمه می‌شوند.

حداقل دو تلاش موفق برای به صورت فرمول درآوردن احتمال وجود دارد: فرمولاسیون کولموگروف و فرمولاسیون کاکس. در فرمولاسیون کولموگروف (نگاه کنیدبه)، مجموعه‌ها به عنوان واقعه و احتمالات را به عنوان میزانی روی یک سری از مجموعه‌ها تفسیر می‌کنند. در نظریه کاکس، احتمال به عنوان یک اصل (که هست، بدون تجزیه و تحلیل بیشتر) و تأکید بر روی ساخت یک انتساب سازگار از مقادیر احتمال برای گزاره‌ها است. در هر دو مورد، قوانین احتمال یکی هستند مگر برای جزئیات تکنیکی مربوط به آنها.

روش‌های دیگری نیز برای کمی‌کردن میزان عدم قطعیت، مانند نظریه Dempster-Shafer theory یا possibility theory وجود دارد، اما آن‌ها به‌طور اساسی با آنچه گفته شد، تفاوت دارند و با درک معمول از قوانین احتمال سازگار نیستند.

پیشینه

نخستین کتاب‌ها را دو دانشمند ایتالیایی دربارهٔ بازی با تاس نوشتند: جه رولاموکاردان و گالیلئو گالیله. با این همه باید آغاز بحث دقیق دربارهٔ احتمال را سده هفدهم و با کارهای بلز پاسکال و پیر فرما، ریاضیدانان فرانسوی و کریستین هویگنس هلندی دانست. پاسکال و فرما کتابی در این باره ننوشتند و تنها در نامه‌های خود به دیگران دربارهٔ کاربرد آنالیز ترکیبی در مسئله‌های مربوط به شانس صحبت کرده‌اند، ولی هویگنس کتابی با نام بازی با تاس نوشت که اگر چه با کتاب کاردان هم نام است ولی از نظر تحلیل علمی در سطح بسیار بالاتری است. کار آنان توسط یاکوب برنولی و دموآور در قرن هجدهم میلادی ادامه یافت، برنولی کتاب روش حدس زدن را نوشت و قانون عددهای بزرگ را کشف کرد. مسئله معروف سوزن نیز در اواسط همین قرن توسط کنت دو بوفون مطرح و حل شد. در سده هجدهم و ابتدای سده نوزدهم نظریه احتمال در دانش‌های طبیعی و صنعت به‌طور جدی کاربرد پیدا کرد. در این دوره نخستین قضیه‌های نظریه احتمال یعنی قضایای لاپلاس، پواسون، لژاندر و گاوس ثابت شد. در نیمه دوم سده نوزدهم دانشمندان روسی تأثیر زیادی در پیشرفت نظریه احتمال داشتند، چبیشف و شاگردانش، لیاپونوف و مارکوف یک رشته از مسئله‌های کلی نظریه احتمال را حل کردند و قضایای برنولی و لاپلاس را تعمیم دادند. در آغاز قرن بیستم متخصصان کارهای قبلی را منظم نموده و ساختمان اصول موضوعه احتمال را بنا نمودند. در این دوره دانشمندان زیادی روی نظریه احتمال کار کردند: در فرانسه، بورل، له‌وی و فره‌شه؛ در آلمان، میزس؛ در آمریکا، وینر، فه لر و دوب؛ در سوئد، کرامر؛ در شوروی، خین چین، سلوتسکی، رومانوسکی، سمپرنوف، گنه دنکو اما درخشان‌ترین نام در این عرصه کولموگروف روسی است که اصول موضوع احتمال را در کتابی به نام مبانی نظریه احتمال در آلمان منتشر کرد.

مبانی

آزمایشی را در نظر بگیرید که اجرای تکراری آن می‌تواند نتایج متفاوتی را ایجاد کند. مجموعه تمام نتایج ممکن برای چنین آزمایشی را به عنوان «فضای نمونه» (Sample Space) آزمایش تصادفی می‌شناسیم. «مجموعه توانی» (Power Set) حاصل از فضای نمونه یا معادل آن، «فضای پیشامد» (Event Space) با در نظر گرفتن کلیه مجموعه‌های مختلف از فضای نمونه، شکل می‌گیرد.

منابع

ویکی پدیای فارسی

نظریه مجموعه‌ها

نظریه مجموعه‌ها شاخه‌ای از منطق ریاضی است که به مطالعه مجموعه‌ها می‌پردازد. مجموعه‌ها، گردایه‌ای از اشیاء هستند. هر چند هر نوعی از اشیاء می‌توانند یک مجموعه را تشکیل دهند، اما نظریه مجموعه‌ها اغلب در مورد اشیاء مرتبط با ریاضی به کار می‌رود. زبان نظریه مجموعه‌ها را می‌توان در تعریف تقریباً همه‌ی اشیاء ریاضی به کار برد.

مطالعه جدید بر روی نظریه مجموعه‌ها توسط گئورگ کانتور و ریچارد ددکیند در دهه ۷۰ قرن ۱۸ میلادی آغاز شد. پس از کشف تناقض‌های نظریه طبیعی مجموعه‌ها، دستگاه‌های اصل موضوعی بی‌شماری در اوایل سده ۲۰ مطرح شدند که معروف‌ترین آن‌ها اصل موضوعه زرملو-فرانکل و اصل موضوعه انتخاب هستند. نظریه مجموعه‌ها عموماً به عنوان سیستم بنیادین ریاضیات در شکل نظریه مجموعه‌های زرملو-فرانکل همراه با اصل موضوعه انتخاب به کار می‌رود. گذشته از نقش بنیادین آن، نظریه مجموعه‌ها در جایگاه خود یکی از شاخه‌های ریاضی با جامعه پژوهش فعالی محسوب می‌شود. پژوهش‌های معاصر در نظریه مجموعه‌ها موضوع‌های متنوعی را شامل می‌شود که از ساختار خط اعداد حقیقی تا مطالعه سازگاری اعداد بزرگ متغیر است.

اجتماع

اجتماع در ریاضی به معنای این است که دو زیر مجموعه را تمامی عضوهاو عناصر آن دو زیرمجموعه (مثلAوB)را نشان می‌دهد. اجتماع با نماد$\cup$نشان داده می شود.

اصول اجتماع

مجموعه های A و S داریم. اگر S مجموعه ای از مجموعه های نظری (S یک رده در مجموعه ها باشد) مجموعه ای به اسم مجموعه C بدست می آید که مجموعه و عناصر و اعضای Sزیر مجموعه آن باشد. اگر$A\in S$باشد پس مجموعه A اینگونه$A\subseteq C$ است. اجتماع همه اعضای S که آن را با $\bigcup S$ یا $\bigcup _{A\in S}A$ نشان می‌دهیم به‌صورت زیر تعریف می می‌شود: $\bigcup S:=\bigcup _{A\in S}A:=\{x\in C:\exists A\in S,x\in A\}$

اجتماع دو مجموعه:$~A\cup B$

خواص اجتماع

اجتماع دارای اصولی است

مجموعه$A\cup B\cup C~$بامجموعه$A\cup (B\cup C)$برابر است

اگر دومجموعه همسان اجتماع پیدا کنند برابر با خود آنها می شود.

$A\cup A=A$

اگر مجموعه تهی و یک مجموعهAاجتماع پیدا کنند برابر با مجموعهAاست

$A\cup \phi =\phi \cup A=A$

اگر مجموعهA,B,Cداشته باشیم،اشتراک اجتماع آنها را بدست آوریم به این حالت می نویسیم

$A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$

یا

$A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$

اشتراک

اشتراک در ریاضی به معنای این است که زیر مجموعه ای مشترک دو مجموعه باشد. اجتماع را با نماد $\cap$ نشان می‌دهند.

اشتراک دو مجموعه:$~A\cap B$

اصول اشتراک

اگر S مجموعه‌ای ناتهی از مجموعه‌ها باشد و $X\in S$ عضو دلخواهی از S، اشتراک همه اعضای S که آن‌را با $\bigcap S$ یا $\bigcap _{A\in S}A$ نشان می‌دهیم به‌صورت زیر تعریف می‌شود:

$\bigcap S:=\bigcap _{A\in S}A:=\{y\in X:\forall A\in S,y\in A\}$

منابع

1. ویکی پدیای فارسی
2. ویکی پدیای انگلیسی

نظریه اعداد

نظریه اعداد (یا محاسبات یا محاسبات بالاتر در کاربردهای قدیمی تر) شاخه ای از ریاضیات محض است که عمدتاً به مطالعه اعداد صحیح و توابع با مقدار صحیح اختصاص دارد .اعداد صحیح را می‌توان به خودی خود یا به عنوان جواب معادلات (در هندسه سیاله‌ای) در نظر گرفت. سوالات حوزهٔ نظریه اعداد اغلب از طریق مطالعه بر روی اشیاء تحلیلی (به عنوان مثال تابع زتای ریمان) بهتر فهمیده می‌شوند. می‌توان اعداد حقیقی را با کمک اعداد گویا مطالعه کرد، به عنوان مثال با تقریب زدن به کمک اعداد گویا (تقریب سیاله‌ای).

اصطلاح قدیمی برای نظریه اعداد، حساب بود. اوایل سده بیستم، عبارت «نظریه اعداد» جایگزین آن شد. (واژه «حساب» نزد عوام به عنوان «محاسبات مقدماتی» پنداشته می‌شود. همچنین این اصطلاح در منطق ریاضیات به معنای حساب پئانو و در علوم رایانه به معنای حساب ممیز شناور می‌باشد) استفاده از اصطلاح حساب برای نظریه اعداد در نیمه دوم سده بیستم رواج پیدا کرد، ادعا می‌شود که ترویج آن تحت تأثیر فرانسوی‌ها بوده‌است. به‌خصوص، اصطلاح حسابی به عنوان یک صفت نسبت به نظریه اعدادی ترجیح داده می‌شود.

نظریه گاوس

«ریاضیات ملکهٔ علوم است، و نظریهٔ اعداد ملکه ریاضیات.» نظریه اعداد دانان به مطالعه اعداد اول و همچنین خواص اشیائی که از اعداد ساخته می‌شوند می‌پردازند، (به عنوان مثال اعداد گویا) یا تعمیم‌هایی از اعداد تعریف می‌کنند (مثل اعداد صحیح جبری).

تاریخچه

منشأ پیدایش

طلوع حساب

لوح پلیمپتون ۳۲۲

قدیمی‌ترین یافته‌هایی که ماهیت حساب دارند، تکه‌ای از لوح پلیمپتون ۳۲۲ است (لارسا، مزوپتامیا، حدود ۱۸۰۰ پیش از میلاد)، که شامل فهرستی از «سه‌تایی‌های فیثاغورثی» می‌باشد، یعنی اعداد صحیح $(a,b,c)$، چنان‌که $a^{2}+b^{2}=c^{2}$. این سه‌تایی‌ها، بسیار زیاد و بزرگ اند، به گونه ای که تصور یافته شدنشان به روش بروت فورس (یا اثبات با افنا، با روش افنا اشتباه نشود) برای آن دوره سخت است. این لوح چنین عنوانی دارد: «تاکیلتوم قطری، که از عرض کم شده …»

طرح لوح نشان می‌دهد که به این لوح به زبان مدرن به این فرمول اشاره کرده:

$\left({\frac {1}{2}}\left(x-{\frac {1}{x}}\right)\right)^{2}+1=\left({\frac {1}{2}}\left(x+{\frac {1}{x}}\right)\right)^{2},$

که به‌طور ضمنی در تمارین بابلیان باستان آورده شده. اگر از روش دیگری استفاده می‌شد، سه تایی‌ها ابتدا ساخته شده و سپس برحسب $c/a$ مرتب می‌شدند، تا احتمالاً در کاربردهای عملی به عنوان «جدول» مورد استفاده قرار گیرند.

نظریه ها

نظریه ابتدایی

در نظریه مقدماتی اعداد، اعداد صحیح را بی استفاده از روش‌های به‌کار رفته در سایر شاخه‌های ریاضی بررسی می‌کنند. مسائل بخش پذیری، الگوریتم اقلیدس برای محاسبه بزرگ‌ترین مقسوم‌علیه مشترک (ب.م. م)، تجزیه اعداد به اعداد اول، جستجوی عدد کامل (به انگلیسی: perfect number) و همنهشتی‌ها در این رده هستند. برخی از یافته‌های مهم این رشته قضیه کوچک فرما، قضیه اعداد اول و قضیه اویلر، قضیه باقیمانده چینی و قانون تقابل درجه دوم هستند. خواص توابع ضربی مانند تابع موبیوس و تابع φ اویلر و دنباله اعداد صحیح و فاکتوریل‌ها و اعداد فیبوناچی در همین حوزه قرار دارند.

حل بسیاری از مسائل در نظریه مقدماتی اعداد بر خلاف ظاهر ساده آن‌ها نیازمند کوشش بسیار و به‌کار گرفتن روش‌های نوین است. چند نمونه:

• حدس گلدباخ در مورد نمایش اعداد زوج به صورت جمع دو عدد اول،
• حدس کاتالان در مورد توانهای متوالی از اعداد صحیح،
• حدس اعداد اول تؤامان در مورد بی‌نهایت بودن زوج‌های اعداد اول،
• حدس کولاتز در مورد تکرار ساده،
• حدس اعداد اول مرسن در مورد بینهایت بودن اعداد اول مرسن و …

همچنین ثابت شده که نظریه معادلات دیوفانتی تعمیم‌ناپذیر است (به مسئله دهم هیلبرت مراجعه کنید).

نظریه تحلیلی

در نظریه تحلیلی اعداد از حسابان و آنالیز مختلط برای بررسی سؤالاتی در مورد اعداد صحیح استفاده می‌شود. مثال‌هایی در این مورد قضیه اعداد اول و حدس ریمان هستند. مسئله وارینگ (یعنی نمایش هر عدد صحیح به صورت جمع چند مربع یا مکعب)، حدس اعداد اول تؤامان (یافتن بینهایت عدد اول با اختلاف ۲)، و حدس گلدباخ (نمایش هر عدد زوج به‌صورت مجموع دو عدد اول) نیز با روش‌های تحلیلی مورد حمله قرار گرفته‌اند. اثبات متعالی (ترافرازنده) بودن ثابت‌های ریاضی مانند π و e نیز در بخش نظریه تحلیلی اعداد قرار دارند. اگرچه حکم‌هایی در مورد اعداد ترافرازنده خارج از محدوده مطالعات اعداد صحیح به نظر می‌آید، در واقع مقادیر ممکن برای چندجمله‌ای‌ها با ضریب‌های صحیح مانند e را بررسی می‌کنند. همچنین این‌گونه مسائل با مبحث تقریب دیوفانتین نیز ارتباط نزدیک دارند که موضوع آن این است که چگونه می‌توان یک عدد حقیقی داده شده را با یک عدد گویا تقریب زد؟

نظریه جبری

در نظریه جبری اعداد، مفهوم عدد به اعداد جبری، که همان ریشه‌های چندجمله‌ای‌هایی با ضریب گویا هستند، گسترش می‌یابد. در این حوزه اعدادی مشابه اعداد صحیح با نام اعداد صحیح جبری وجود دارد. در این عرصه لازم نیست ویژگی‌های آشنای اعداد صحیح (مانند تجزیه یگانه) برقرار باشد. مزیت روش‌های استفاده شده در این رشته (مثل نظریه گالوا، میدان همانستگی، نظریه رده میدان، نمایش‌های گروه‌ها و توابع-L) این است که برای این رده از اعداد، نظم را تا حدودی تأمین می‌کند.

نظریه هندسی

نظریه هندسی اعداد (که قبلاً به آن هندسه اعداد می‌گفتند) جنبه‌هایی از هندسه را به نظریه اعداد پیوند می‌دهد؛ و از قضیه مینکوفسکی در ارتباط با نقاط توری در مجموعه‌های محدب و تحقیق در مورد چپاندن کره‌ها در فضای Rⁿ شروع می‌شود.

نظریه احتمالی

بسیاری از نظریه اعداد احتمالاتی را می توان به عنوان یک مورد خاص مهم در مطالعه متغیرهایی دانست که تقریباً، اما نه کاملاً مستقل از یکدیگر هستند. به عنوان مثال، رویدادی که یک عدد صحیح تصادفی بین یک و یک میلیون بر دو بخش پذیر باشد و رویدادی که بر سه بخش پذیر باشد تقریباً مستقل هستند، اما نه کاملاً.

گاهی اوقات گفته می شود که ترکیبات احتمالی از این واقعیت استفاده می کند که هر اتفاقی با احتمال بیشتر ازگاهی باید اتفاق بیفتد می توان با عدالت برابر گفت که بسیاری از کاربردهای نظریه اعداد احتمالی به این واقعیت بستگی دارد که هر چیزی که غیرعادی باشد باید نادر باشد. اگر بتوان اشیاء جبری معینی (مثلاً راه‌حل‌های منطقی یا صحیح برای معادلات معین) را در انتها توزیع‌های معقول معینی نشان داد، نتیجه می‌شود که باید تعداد کمی از آنها وجود داشته باشد. این یک گزاره غیر احتمالی بسیار ملموس است که از یک گزاره احتمالی پیروی می کند.

گاهی اوقات، یک رویکرد غیر دقیق و احتمالاتی منجر به تعدادی از الگوریتم های اکتشافی و مشکلات باز می شود، به ویژه حدس کرامر .

نظریه ترکیبیاتی

نظریه ترکیبیاتی اعداد به مسائلی در نظریه اعداد می‌پردازد که با روش‌های ترکیبیاتی بررسی می‌شوند. پل اردوش بنیان‌گذار اصلی این شاخه از نظریه اعداد بود. الگوریتم‌های سریع برای امتحان اعداد اول و تجزیه اعداد صحیح در رمزنگاری کاربردهای مهمی دارند.

منابع

ویکی پدیای فارسی

ویکی پدیای انگلیسی

ترکیبیات

ترکیبیات شاخه ای از علم ریاضیات است که عمدتاً به شمارش، هم به عنوان وسیله و هم به عنوان هدف برای به دست آوردن نتایج، و خواص معین ساختارهای محدود مربوط می‌شود . ارتباط نزدیکی با بسیاری از حوزه های دیگر ریاضیات دارد و کاربردهای زیادی از منطق گرفته تا فیزیک آماری و از زیست شناسی تکاملی تا علوم کامپیوتر دارد .

دامنه کامل ترکیبیات مورد توافق جهانی قرار نگرفته است.  به گفته HJ Ryser ، تعریف موضوع دشوار است زیرا از زیربخش های ریاضی زیادی عبور می کند.  تا آنجا که یک منطقه را می توان با انواع مشکلاتی که به آن پرداخته توصیف کرد، ترکیبات با موارد زیر درگیر است:

• شمارش سازه‌های مشخص، که گاهی به‌عنوان آرایش‌ها یا پیکربندی‌ها به معنایی بسیار کلی، مرتبط با سیستم‌های محدود شناخته می‌شوند،
• وجود چنین ساختارهایی که معیارهای معینی را برآورده می کنند،
• ساخت این سازه ها، شاید از بسیاری جهات، و
• بهینه‌سازی : یافتن «بهترین» ساختار یا راه‌حل از میان چندین احتمال، خواه «بزرگ‌ترین»، «کوچک‌ترین» یا ارضای برخی معیارهای بهینه‌سازی دیگر .

لئون میرسکی گفته است: "ترکیب‌شناسی مجموعه‌ای از مطالعات مرتبط است که وجه اشتراک دارند و در عین حال به طور گسترده در اهداف، روش‌ها و درجه انسجامی که به دست آورده‌اند، متفاوت هستند."  یکی از راه‌های تعریف ترکیب‌ها، شاید توصیف زیربخش‌های آن با مسائل و تکنیک‌هایشان باشد. این رویکردی است که در زیر استفاده می شود. با این حال، دلایل صرفاً تاریخی نیز برای گنجاندن یا عدم گنجاندن برخی موضوعات زیر چتر ترکیبیات وجود دارد.  اگرچه عمدتاً به سیستم های محدود مربوط می شود، برخی از سؤالات و تکنیک های ترکیبی را می توان به یک تنظیم نامتناهی (به طور خاص، قابل شمارش ) اما گسسته گسترش داد.

ترکیبیات به دلیل گستردگی مشکلاتی که با آن برخورد می کند به خوبی شناخته شده است. مشکلات ترکیبی در بسیاری از حوزه‌های ریاضیات محض ، به ویژه در جبر ، نظریه احتمال ، توپولوژی ، و هندسه ،  و همچنین در بسیاری از حوزه‌های کاربردی آن به وجود می‌آیند. بسیاری از سؤالات ترکیبی در طول تاریخ به صورت مجزا در نظر گرفته شده اند، و یک راه حل موقت برای یک مسئله ایجاد شده در برخی زمینه های ریاضی ارائه می دهند. با این حال، در اواخر قرن بیستم، روش‌های نظری قدرتمند و کلی توسعه یافتند و ترکیب‌ها را به شاخه‌ای مستقل از ریاضیات تبدیل کردند. یکی از قدیمی‌ترین و در دسترس‌ترین بخش‌های ترکیبیات، نظریه گراف است که به خودی خود پیوندهای طبیعی متعددی با سایر حوزه‌ها دارد. ترکیبیات به طور مکرر در علوم کامپیوتر برای به دست آوردن فرمول ها و تخمین ها در تجزیه و تحلیل الگوریتم ها استفاده می شود .

به ریاضیدانی که ترکیب‌شناسی را مطالعه می‌کند، ترکیب‌گرا می‌گویند .

شاخه های ترکیبیات

ترکیبات شمارشی

ترکیبات شمارشی کلاسیک‌ترین دامنه ترکیبات است و بر شمارش تعداد اشیاء ترکیبی خاص تمرکز دارد. اگرچه شمارش تعداد عناصر در یک مجموعه یک مسئله ریاضی نسبتاً گسترده است، بسیاری از مشکلاتی که در کاربردها ایجاد می‌شوند، توصیف ترکیبی نسبتاً ساده‌ای دارند. اعداد فیبوناچی مثال اصلی یک مسئله در شمارش ترکیب ها هستند. دوازده راه یک چارچوب یکپارچه برای شمارش جایگشت ها، ترکیب ها و پارتیشن ها فراهم می کند.

ترکیبات تحلیلی

ترکیبات تحلیلی با شمارش ساختارهای ترکیبی با استفاده از ابزارهای تحلیل پیچیده و نظریه احتمال سروکار دارند. برخلاف ترکیب‌های شمارشی که از فرمول‌های ترکیبی صریح و توابع تولیدکننده برای توصیف نتایج استفاده می‌کنند، هدف ترکیب‌های تحلیلی دستیابی به فرمول‌های مجانبی است.

تئوری تقسیم

نظریه پارتیشن مسائل مختلف شمارش و مجانبی مربوط به پارتیشن‌های عدد صحیح را مطالعه می‌کند و ارتباط نزدیکی با سری‌های q، توابع ویژه و چندجمله‌ای متعامد دارد. در ابتدا بخشی از تئوری و تحلیل اعداد بود، اما اکنون بخشی از ترکیب یا یک رشته مستقل در نظر گرفته می شود. این شامل رویکرد دوگانه و ابزارهای مختلف در تحلیل و تئوری تحلیلی اعداد است و مربوط به مکانیک آماری است.

نظریه گراف

نمودارها اشیاء اساسی در ترکیب بندی ها هستند. ملاحظات تئوری گراف از تعداد (به عنوان مثال، تعداد نمودارها در n رأس با k یال) تا ساختارهای موجود (مانند چرخه‌های همیلتونی) تا نمایش‌های جبری (مثلاً با توجه به نمودار G و دو عدد x و y، توته چندین Do انجام می‌دهد) را شامل می‌شود. جملات T G (x، y) تفسیر مختلط دارند؟). اگرچه ارتباط بسیار قوی بین نظریه گراف و ترکیبیات وجود دارد، اما گاهی اوقات به عنوان موضوعات جداگانه در نظر گرفته می شوند.در حالی که روش‌های ترکیبی برای بسیاری از مسائل نظریه گراف به کار می‌روند، این دو رشته عموماً برای یافتن راه‌حل‌هایی برای انواع مختلف مسائل استفاده می‌شوند.

تئوری طراحی

تئوری طراحی مطالعه طرح های ترکیبی است که مجموعه ای از زیر مجموعه ها با ویژگی های تقاطع متمایز هستند. طرح های بلوک طرح های ترکیبی از نوع خاصی هستند. این ناحیه یکی از قدیمی ترین بخش های ترکیبیات است، مانند مسئله دانشجویی کرکمن که در سال 1850 ارائه شد. راه حل مسئله، مورد خاصی از سیستم اشتاینر است که سیستم ها نقش مهمی در طبقه بندی گروه های ساده محدود دارند. این حوزه بیشتر به نظریه کدگذاری و ترکیبات هندسی مربوط می شود.

هندسه محدود

هندسه محدود مطالعه سیستم های هندسی است که فقط تعداد محدودی نقطه دارند. ساختارهایی شبیه به آنهایی که در هندسه های پیوسته یافت می شوند (صفحه اقلیدسی، فضای تصویر واقعی و غیره) اما به صورت ترکیبی تعریف شده اند، اصلی ترین ساختارهای مورد مطالعه هستند. این منطقه منبع غنی از نمونه ها برای تئوری طراحی است. نباید آن را با هندسه گسسته (هندسه مرکب) اشتباه گرفت.

تئوری نظم

نظریه نظم مطالعه مجموعه های جزئی منظم، متناهی و نامتناهی است. نمونه های مختلفی از نظم جزئی در جبر، هندسه، نظریه اعداد، و در سراسر ترکیبات و نظریه گراف ظاهر می شود. کلاس ها و نمونه های قابل توجهی از نظم های جزئی شامل شبکه ها و جبرهای بولی است.

نظریه ماتروئید

نظریه ماتروئید بخشی از هندسه را انتزاعی می کند. ویژگی مجموعه ها (معمولا مجموعه های محدود) بردارهایی را در فضای برداری مطالعه می کند که به ضرایب خاصی در یک رابطه وابستگی خطی وابسته نیستند. نه تنها ساختار، بلکه خواص شمارش نیز متعلق به نظریه ماتروئید است. نظریه ماتروئید توسط هاسلر ویتنی معرفی شد و به عنوان بخشی از نظریه نظم مورد مطالعه قرار گرفت. اکنون یک رشته تحصیلی مستقل با تعدادی از ارتباطات با سایر بخش های ترکیبی است.

ترکیبات افراطی

ترکیبات اکسترمال به بررسی سوالات اکسترمال در سیستم های مجموعه می پردازد. انواع سوالات مطرح شده در این مورد در مورد بزرگترین نمودار ممکن است که ویژگی های خاصی را برآورده می کند. به عنوان مثال، بزرگترین نمودار بدون مثلث در 2n راس، یک گراف دو قسمتی کامل Kn، n است. حتی یافتن پاسخ افراطی دقیق f(n) اغلب بسیار دشوار است و فقط می توان یک تخمین مجانبی ارائه داد. نظریه رمزی بخش دیگری از ترکیبات افراطی است. بیان می کند که هر پیکربندی به اندازه کافی بزرگ حاوی یک نظم است. این یک تعمیم پیشرفته از اصل کبوتر است.

ترکیبات احتمالی

در ترکیبات احتمالی، سؤالات این است: احتمال یک ویژگی خاص برای یک شی گسسته تصادفی، مانند یک نمودار تصادفی چقدر است؟ به عنوان مثال، میانگین تعداد مثلث ها در یک نمودار تصادفی چقدر است؟ روش‌های احتمالی نیز برای تعیین وجود اشیاء مرکب با ویژگی‌های تجویز شده خاص (که یافتن مثال‌های صریح ممکن است دشوار باشد) استفاده می‌شود، صرفاً با مشاهده اینکه احتمال انتخاب تصادفی یک شی با آن ویژگی‌ها بیشتر از 0 است. اغلب به آن اشاره می‌شود. به عنوان روش احتمالی) در کاربرد ترکیبات اکسترمال و نظریه گراف بسیار مؤثر بود. یک منطقه نزدیک مطالعه زنجیره های مارکوف محدود، به ویژه در اجسام مرکب است. در اینجا دوباره از ابزارهای احتمالی برای تخمین زمان اختلاط استفاده می شود.

ترکیبات جبری

ترکیب‌های جبری رشته‌ای از ریاضیات است که از روش‌های جبر انتزاعی به‌ویژه نظریه گروهی و نظریه نمایش در زمینه‌های ترکیبی مختلف استفاده می‌کند و بالعکس از تکنیک‌های ترکیب‌بندی برای مسائل جبر استفاده می‌کند. ترکیبات جبری به طور مداوم در حال گسترش دامنه خود است، هم در موضوعات و هم در تکنیک ها، و می تواند به عنوان حوزه ای از ریاضیات در نظر گرفته شود که در آن تعامل روش های ترکیبی و جبری به ویژه قوی و قابل توجه است.

ترکیبات هندسی

ترکیبات هندسی مربوط به هندسه محدب و گسسته، به ویژه ترکیبات چند وجهی است. به عنوان مثال، می پرسد که یک پلی توپ محدب چند وجه از هر بعد می تواند داشته باشد. خواص متریک پلی توپ ها نیز نقش مهمی ایفا می کند، برای مثال قضیه کوشی در مورد صلبیت پلی توپ های محدب. پلی توپ های ویژه نیز در نظر گرفته می شوند، مانند پلی توپ های پرموتوهدرا، اسوکیاهدرا و بیرخوف. هندسه ترکیبی نامی تاریخی برای هندسه گسسته است.

ترکیبات حسابی

ترکیب‌های حسابی از تعامل بین نظریه اعداد، ترکیب‌ها، نظریه ارگودیک و تحلیل هارمونیک پدید آمدند. این در مورد تخمین های مرکب مربوط به عملیات حسابی (جمع، تفریق، ضرب و تقسیم) است. نظریه اعداد جمعی (گاهی اوقات ترکیبات جمعی نامیده می شود) به یک مورد خاص اشاره دارد که در آن فقط عملیات جمع و تفریق درگیر است. یکی از تکنیک های مهم در ترکیب های حسابی، نظریه ارگودیک سیستم های دینامیکی است

ترکیبات بی نهایت

ترکیبات نامتناهی یا ترکیبات بی نهاییت یا تئوری مجموعه های ترکیبی امتدادی از ایده های ترکیبیات به مجموعه های نامتناهی است. این بخشی از تئوری مجموعه ها، حوزه ای از منطق ریاضی است، اما از ابزارها و ایده هایی از نظریه مجموعه ها و ترکیبات افراطی استفاده می کند. جیان کارلو روتا از نام ترکیب های پیوسته برای توصیف احتمال هندسی استفاده کرد، زیرا شباهت های زیادی بین شمارش و اندازه گیری وجود دارد.

منابع

ویکی پدیای انگلیسی

نظریه گراف

در ریاضیات ، نظریه گراف مطالعه نمودارها است ، که ساختارهای ریاضی هستند که برای مدل‌سازی روابط زوجی بین اشیاء استفاده می‌شوند. یک نمودار در این زمینه از رئوس (که گره ها یا نقاط نیز نامیده می شوند ) ساخته شده است که توسط یال ها (که پیوندها یا خطوط نیز نامیده می شوند) به هم متصل می شوند . بین نمودارهای بدون جهت ، که در آن یال ها دو راس را به طور متقارن به هم مرتبط می کنند، و نمودارهای جهت دار ، که در آن یال ها دو راس را به طور نامتقارن به هم مرتبط می کنند، تمایز قائل می شوند. نمودارها یکی از موضوعات اصلی مطالعه در ریاضیات گسسته هستند.

تاریخ

برخلاف شاخه‌های دیگر ریاضیات، سیر نظریهٔ گراف آغاز معینی در زمان و مکان دارد و آن مسئلهٔ هفت پل کونیگسبرگ است که در سال ۱۷۳۶ توسط لئونارد اویلر حل شد. در سال ۱۷۵۲ قضیهٔ اویلر برای گراف‌های مسطح ارائه می‌شود. اما پس از آن به مدت تقریباً یک قرن فعالیت اندکی در این زمینه صورت گرفت.

تعریف

تعریف دقیق‌تر گراف به این صورت است، که گراف مجموعه‌ای از رأس‌ها است، که توسط خانواده‌ای از زوج‌های مرتب که همان یال‌ها هستند به هم مربوط (وصل) شده‌اند.

یال‌ها بر دو نوع ساده و جهت دار هستند، که هر کدام در جای خود کاربردهای بسیاری دارد؛ مثلاً اگر صرفاً اتصال دو نقطه -مانند اتصال تهران و زنجان با کمک آزادراه- مد نظر شما باشد، کافیست آن دو شهر را با دو نقطه نمایش داده، و اتوبان مزبور را با یالی ساده نمایش دهید. اما اگر بین دو شهر جاده‌ای یکطرفه وجود داشته باشد آنگاه لازمست تا شما با قرار دادن یالی جهت دار مسیر حرکت را در آن جاده مشخص کنید. همچنین برای اینکه فاصله بین دو شهر را در گراف نشان دهید، می‌توانید از گراف وزن دار استفاده کنید و مسافت بین شهرها را با یک عدد بر روی هر یال نشان دهید.

آغاز نظریهٔ گراف به سدهٔ هجدهم بر می‌گردد. لئونارد اویلر ریاضیدان بزرگ مفهوم گراف را برای حل مسئله پل‌های کونیگسبرگ ابداع کرد اما رشد و پویایی این نظریه عمدتاً مربوط به نیم سدهٔ اخیر و با رشد علم انفورماتیک بوده‌است.

مهم‌ترین کاربرد گراف مدل‌سازی پدیده‌های گوناگون و بررسی بر روی آنهاست. با گراف می‌توان به راحتی یک نقشه بسیار بزرگ یا شبکه‌ای عظیم را در درون یک ماتریس به نام ماتریس وقوع گراف ذخیره کرد یا الگوریتمهای مناسب مانند الگوریتم دایکسترا یا الگوریتم کروسکال و… را بر روی آن اعمال نمود.

یکی از قسمت‌های پرکاربرد نظریهٔ گراف، گراف مسطح است که به بررسی گراف‌هایی می‌پردازد که می‌توان آن‌ها را به نحوی روی صفحه کشید که یال‌ها جز در محل رأس‌ها یکدیگر را قطع نکنند. این نوع گراف در ساخت جاده‌ها و حل مسئله کلاسیک و قدیمی سه خانه و سه چاه آب به کار می‌رود.

نظریه گراف یکی از پرکاربردترین نظریه‌ها در شاخه‌های مختلف علوم مهندسی (مانند عمران)، باستان‌شناسی (کشف محدوده یک تمدن) و… است.

روابط میان رأس‌های یک گراف را می‌توان با کمک ماتریس بیان کرد.

برای نمایش تصویری گراف‌ها معمولاً از نقطه یا دایره برای کشیدن رأس‌ها و از کمان یا خط راست برای کشیدن یال بین رأس‌ها استفاده می‌شود.

کاربرد

نمودارها را می‌توان برای مدل‌سازی بسیاری از انواع روابط و فرآیندها در سیستم‌های فیزیکی، بیولوژیکی،اجتماعی و اطلاعاتی استفاده کرد.بسیاری از مسائل عملی را می توان با نمودار نشان داد. با تأکید بر کاربرد آنها در سیستم های دنیای واقعی، اصطلاح شبکه گاهی اوقات به معنای نموداری تعریف می شود که در آن ویژگی ها (مثلاً نام ها) با رئوس و یال ها مرتبط هستند و موضوعی که سیستم های دنیای واقعی را به عنوان یک علم شبکه بیان و درک می کند نامیده می شود.

علوم کامپیوتر

در علم کامپیوتر ، سایبرنتیک از نمودارها برای نمایش شبکه های ارتباطی، سازماندهی داده ها، دستگاه های محاسباتی، جریان محاسبات و غیره استفاده می کند. به عنوان مثال، ساختار پیوند یک وب سایت را می توان با یک نمودار جهت دار نشان داد که در آن رئوس نشان دهنده صفحات وب است. و لبه های جهت دار نشان دهنده پیوندها از یک صفحه به صفحه دیگر است. رویکرد مشابهی را می توان برای مشکلات در رسانه های اجتماعی،  سفر، زیست شناسی، طراحی تراشه های کامپیوتری، نقشه برداری از پیشرفت بیماری های عصبی،  و بسیاری از زمینه های دیگر اتخاذ کرد. بنابراین توسعه الگوریتم‌هایی برای مدیریت نمودارها از علاقه‌مندی عمده در علوم کامپیوتر است. راتبدیل نمودارها اغلب رسمی و با سیستم های بازنویسی نمودار نشان داده می شود . مکمل سیستم‌های تبدیل گراف که بر روی دستکاری در حافظه مبتنی بر قانون گراف‌ها تمرکز می‌کنند، پایگاه‌های اطلاعاتی گراف هستند که برای ذخیره‌سازی پایدار ، ذخیره‌سازی پایدار و پرس‌وجو از داده‌های ساختار یافته گراف طراحی شده‌اند.

ریاضیات

در ریاضیات، نمودارها در هندسه و بخش های خاصی از توپولوژی مانند نظریه گره مفید هستند . نظریه گراف جبری پیوند نزدیکی با نظریه گروه دارد . نظریه گراف جبری در بسیاری از زمینه ها از جمله سیستم های پویا و پیچیدگی به کار گرفته شده است.

فیزیک و شیمی

تئوری گراف همچنین برای مطالعه مولکول ها در شیمی و فیزیک استفاده می شود. در فیزیک ماده چگال ، ساختار سه بعدی ساختارهای اتمی شبیه‌سازی شده پیچیده را می‌توان با جمع‌آوری آماری در مورد ویژگی‌های نظری گراف مرتبط با توپولوژی اتم‌ها به صورت کمی مطالعه کرد. همچنین، « نمودارهای فاینمن و قواعد محاسباتی ، نظریه میدان کوانتومی را به شکلی در ارتباط نزدیک با اعداد تجربی که می‌خواهیم بفهمیم، خلاصه می‌کنند».  در شیمی، یک نمودار یک مدل طبیعی برای یک مولکول می سازد، که در آن رئوس نشان دهنده اتم ها و پیوندهای لبه است.. این رویکرد به ویژه در پردازش کامپیوتری ساختارهای مولکولی، از ویرایشگرهای شیمیایی تا جستجو در پایگاه داده استفاده می شود. در فیزیک آماری ، نمودارها می توانند ارتباطات محلی بین بخش های متقابل یک سیستم و همچنین پویایی یک فرآیند فیزیکی در چنین سیستم هایی را نشان دهند. به طور مشابه، در علوم اعصاب محاسباتیاز نمودارها می توان برای نشان دادن ارتباطات عملکردی بین نواحی مغز استفاده کرد که با یکدیگر تعامل دارند و فرآیندهای شناختی مختلفی را ایجاد می کنند، جایی که رئوس نشان دهنده مناطق مختلف مغز و لبه ها نشان دهنده ارتباطات بین آن مناطق هستند. تئوری نمودار نقش مهمی در مدل‌سازی الکتریکی شبکه‌های الکتریکی ایفا می‌کند، در اینجا وزن‌ها با مقاومت قطعات سیم برای به دست آوردن خواص الکتریکی سازه‌های شبکه مرتبط می‌شوند.  نمودارها همچنین برای نشان دادن کانال‌های میکرو مقیاس محیط متخلخل استفاده می‌شوند که در آن رئوس نشان‌دهنده منافذ و لبه‌ها کانال‌های کوچک‌تر را نشان می‌دهند که منافذ را به هم متصل می‌کنند. نظریه گراف شیمیایی از گراف مولکولی استفاده می کندبه عنوان وسیله ای برای مدل سازی مولکول ها. نمودارها و شبکه ها مدل های عالی برای مطالعه و درک انتقال فاز و پدیده های بحرانی هستند. حذف گره ها یا لبه ها منجر به یک انتقال بحرانی می شود که در آن شبکه به خوشه های کوچک تقسیم می شود که به عنوان یک انتقال فاز مورد مطالعه قرار می گیرد. این تفکیک از طریق تئوری نفوذ بررسی می شود .

منابع

ویکی پدیای انگلیسی

ویکی پدیای فارسی

هندسه دیجیتال

هندسه دیجیتال با مجموعه‌های گسسته (به طور کلی مجموعه‌ای از نقاط گسسته) سر و کار دارد که مدل‌های دیجیتال یا تصاویر اشیاء دو بعدی و سه بعدی در فضای اقلیدسی در نظر گرفته می‌شوند. برای جایگزینی یک شی با مجموعه‌ای گسسته از نقاط آن، با اعداد نشان داده می‌شود. تصاویری که روی صفحه تلویزیون یا روزنامه‌ها می‌بینیم در واقع تصاویر دیجیتالی هستند. کاربردهای اصلی هندسه دیجیتال در زمینه گرافیک کامپیوتری و تحلیل تصویر است.

زمینه‌های اصلی

• ایجاد نمایش رقمی اشیا با تأکید بر دقت و کارایی (با استفاده از ترکیب مثلاً الگوریتم خط برسنهام یا دیسک‌های دیجیتال یا به صورت رقم درآوردن و پردازش متوالی تصاویر دیجیتال).
• مطالعهٔ خواص مجموعه‌های دیجیتال برای مثال قضیه پیک، تحدب دیجیتال، صافی دیجیتال و مسطح بودن دیجیتال
• تغییر نمایش رقمی اشیا به (آ) اشیا ی ساده شده همچون اسکلت‌ها (از طریق پاک کردن مکرر نقاط ساده طوری‌که توپولوژی دیجیتال تصویر تغییر نکند)، (ب) اشکال تغییر یافته با استفاده از شکل‌شناسی ریاضیاتی
• بازسازی اشیای واقعی یا خواص آن‌ها (ناحیه، طول، حجم، سطح و…) از روی تصاویر دیجیتال.

هندسه دیجیتال ارتباط زیادی با هندسه گسسته دارد و می‌توان آن را بخشی از هندسه گسسته در نظر گرفت.

فضای دیجیتال

فضای دیجیتال دو بعدی معمولاً به معنای یک فضای شبکه دو بعدی است که فقط شامل نقاط صحیح در فضای اقلیدسی دوبعدی است. تصویر دوبعدی تابعی در فضای دیجیتال دو بعدی است (به پردازش تصویر مراجعه کنید). در کتاب روزنفلد و کاک، اتصال دیجیتال به عنوان رابطه بین عناصر در فضای دیجیتال تعریف شده است. به عنوان مثال، ۴-اتصال و ۸-اتصال در 2D. همچنین اتصال پیکسل را ببینید. یک فضای دیجیتال و اتصال (دیجیتال) آن یک توپولوژی دیجیتال را تعیین می‌کند. در فضای دیجیتال، تابع پیوسته دیجیتالی (A. Rosenfeld، ۱۹۸۶) و تابع تدریجی متغیر (L. Chen, 1989) به طور مستقل پیشنهاد شدند. تابع پیوسته دیجیتالی به معنای تابعی است که در آن مقدار (یک عدد صحیح) در یک نقطه دیجیتال یکسان یا حداکثر ۱ از همسایگانش خاموش باشد. به عبارت دیگر، اگر «x» و «y» دو نقطه مجاور در یک فضای دیجیتالی باشند، |f(x) &منهای؛  f(y)| ≤ ۱. تابع تغییر تدریجی تابعی است از فضای دیجیتال $\Sigma$ تا $\{A_{1},\dots ,A_{m}\}$ که در آن $A_{1}<\cdots <A_{m},A_{i}$ اعداد واقعی هستند. این تابع دارای ویژگی زیر است: اگر "x" و "y" دو نقطه مجاور در $\Sigma$ هستند، $f(x)=A_{i}$ را فرض کنید، سپس $f(y)=A_{i}$، $f(x)=A_{i+1}$، یا $A_{i-1}$. بنابراین می‌توانیم ببینیم که تابع تغییر تدریجی به طور کلی تر از تابع پیوسته دیجیتالی تعریف شده است. یک قضیه بسط مربوط به توابع بالا ذکر شد و توسط (L. Chen 1989) تکمیل شد. این قضیه بیان می‌کند: فرض کنید $D\subset \Sigma$ و $f:D\rightarrow \{A_{1},\dots ,A_{m}\}$. شرط لازم و کافی برای وجود پسوند تدریجی متغیر $F$ از $f$ این است: برای هر جفت نقطه $x$ و $y$ در $D$، فرض کنید $f(x)=A_{i}$ و $f(y)=A_{j}$، ما داریم $|i-j|\leq d(x,y)$، $d(x,y)$ فاصله (دیجیتال) بین $x$ و$y$است.

منابع

ویکی‌پدیای فارسی

ویکی‌پدیای انگلیسی

توپولوژی دیجیتال

توپولوژی دیجیتال به خواص و شکل تصاویر دیجیتالی دو بعدی یا سه بعدی اشیاء در رابطه با خواص توپولوژیکی (اتصال) یا شکل توپولوژیکی (مرزها) می‌پردازد. مفاهیم و نتایج توپولوژی برای تعریف و تأکید بر الگوریتم‌های مهم تجزیه و تحلیل تصویر استفاده می‌شود. توپولوژی دیجیتال اولین بار در اواخر دهه ۱۹۶۰ توسط محقق تجزیه و تحلیل تصویر کامپیوتری ازریل روزنفلد (۱۹۳۱-۲۰۰۴) مورد مطالعه قرار گرفت. انتشارات او در این زمینه نقش اساسی در ایجاد و گسترش این حوزه داشت. اصطلاح توپولوژی دیجیتال نیز ابتکار خود روزنفلد بود که برای اولین بار در سال ۱۹۷۳ در یکی از انتشارات خود از آن استفاده کرد. یک نتیجه مهم در توپولوژی دیجیتال بیان می‌کند که تصاویر باینری دو بعدی به انتخاب اختیاری ۴ مجاورت یا ۸ مجاورت نیاز دارند تا از دوگانگی توپولوژیکی اولیه الحاق و جداسازی اطمینان حاصل شود. تصاویر دیجیتال آرایه‌های مستطیلی از اعداد غیر منفی هستند. برای تجزیه و تحلیل یک عکس دیجیتال معمولاً آن را به قسمت‌های مختلف و ویژگی‌های مختلف تقسیم می‌کنند و رابطه بین قسمت‌ها بررسی و مقایسه می‌شود. پردازش تصویر دیجیتال یا پردازش تصویر کاربرد گسترده‌ای در زمینه‌های مختلف از جمله تجارت، صنعت، پزشکی و علوم محیطی دارد.

نتایج اساسی

یک نتیجه اولیه (اولیه) در توپولوژی دیجیتال می‌گوید که تصاویر دوبعدی دوبعدی به استفاده جایگزین از مجاورت ۴ یا ۸ یا «اتصال پیکسل» (برای «شی» یا «غیر شی» نیاز دارند. پیکسل) برای اطمینان از دوگانگی توپولوژیکی اصلی جداسازی و اتصال. این استفاده جایگزین مربوط به باز یا بسته است در ۲ بعدی توپولوژی سلول شبکه‌ای تنظیم می‌شود و نتیجه به ۳ بعدی تعمیم می‌یابد: استفاده جایگزین ۶ یا ۲۶ مجاورت مطابقت دارد برای باز یا بسته کردن مجموعه‌ها در سه بعدی توپولوژی سلول شبکه. توپولوژی سلول شبکه همچنین برای تصاویر دو بعدی یا سه بعدی چند سطحی (به عنوان مثال، رنگی) اعمال می‌شود. به عنوان مثال بر اساس یک ترتیب کلی از مقادیر تصویر ممکن و به کار بردن یک قانون حداکثر برچسب (به کتاب Klette و Rosenfeld، ۲۰۰۴ مراجعه کنید). توپولوژی دیجیتال بسیار با توپولوژی ترکیبی مرتبط است. تفاوت‌های اصلی بین آنها عبارتند از:

1. توپولوژی دیجیتال عمدتاً اشیاء دیجیتالی را که توسط سلول‌های شبکه تشکیل می‌شوند مطالعه می‌کند
2. توپولوژی دیجیتال نیز با منیفولدهای غیر اردن «منیفولد ترکیبی» نوعی منیفولد است که گسسته سازی یک منیفولد است. این معمولاً به معنای منیفولد خطی تکه‌ای ساخته شده توسط کمپلکس‌های ساده است. یک منیفولد دیجیتال نوع خاصی از منیفولد ترکیبی است که در فضای دیجیتال یعنی فضای سلول شبکه‌ای تعریف می‌شود. یک شکل دیجیتالی قضیه گاوس-بونت این است: فرض کنید «M» یک ۲ بعدی دیجیتال بسته منیفولد در مجاورت مستقیم باشد (یعنی سطح (۶٬۲۶) در سه بعدی). فرمول جنس است: $g=1+(M_{5}+2M_{6}-M_{3})/8$،

که در آن $M_{i}$ مجموعه‌ای از نقاط سطحی را نشان می‌دهد که هر کدام دارای نقاط مجاور "i" در سطح هستند (چن و رونگ، ICPR 2008). اگر M به سادگی متصل باشد، یعنی $g=0$، سپس $M_{3}=8+M_{5}+2M_{6}$. (ویژگی اویلر را نیز ببینید)

همبندی

ابتدا مفهوم همبند بودن را برای زیرمجموعه‌های تصویر Img به صورت فرمول بیان می‌کنیم. فرض می‌کنیم Img یک ارائه از نقاط شبکه بندی با مختصات صحیح (x,y) باشد که x و y اعدادی طبیعی در یک بازه بسته هستند.

تعریف۱: ۴-همسایه‌های (x,y) چهار نقطهٔ مجاور عمودی و افقی به آن یعنی (x±۱,y) و (x, y±۱) هستند.

تعریف ۲: ۸-همسایه‌های (x,y) شامل ۴-همسایه‌ها و نقاط مجاور قطری آن (x+1, y±۱) و (x-1, y±۱) هستند.

اگر نقاط P و Q از Img همسایه باشند به آن‌ها ۴-مجاور یا ۸-مجاور می‌گوییم.

تعریف۳: P و Q نقاطی در Img هستند، منظور از مسیر از P تا Q دنباله‌ای از نقاط مانند P=$P_{0}$,$P_{1}$,…,$P_{n}$=Q است به‌طوری‌که $P_{i}$همسایهٔ $P_{i-1}$ باشد.

فرض کنیم S یک زیرمجموعه از Img باشد. برای دوری از حالات خاص فرض می‌کنیم S شامل مرز Img نیست.

تعریف۴: می‌گوییم P و Q در Sمتصل (همبند) هستند اگر یک مسیر از P به Q وجود داشته باشد به‌طوری‌که همهٔ نقاط مسیر نقاطی از S باشند.

گزاره: همبندی یک رابظهٔ هم‌ارزی است.

تعریف۵: دسته‌های هم‌ارزی تعریف شده با این رابطه سازه‌های S نامیده می‌شوند. اگر S فقط یک سازه داشته باشد همبند نامیده می‌شود. اگر Sc متمم S باشد، سازهٔ یکتایی از Sc که شامل مرز Img است، پیش زمینه S نامیده می‌شود. هر سازهٔ دیگری که وجود داشته باشد سوراخ نامیده می‌شود. اگر S هیچ سوراخی نداشته باشد تماماً همبند نامیده می‌شود.

دنبال کردن مرز مشخصه دنباله

S زیر مجموعه‌ای از Img است مرزِ S مجموعه‌ای از نقاط S است که در مکمل آن ۴-همسایه دارند.

تعریف: اگر C یک سازهٔ S و D یک سازهٔ Sc باشد. D-مرزِ C مجموعه‌ای از نقاط C است که در دی ۴-همسایه دارند. این مرز را با $C_{D}$ نشان می‌دهیم.

اکنون الگوریتمی را توضیح می‌دهیم که متوالیاً از همهٔ نقاط D-مرزِ C عبور می‌کند. این الگوریتم که $BF_{4}$ نام دارد نشان می‌دهد که چگونه با داشتن یک جفت نقطه ($P_{i}$,$Q_{i}$) جفت نقطهٔ جدید ($P_{i+1}$,$Q_{i+1}$) پیدا می‌شوند. ۸-همسایه‌های $P_{i}$ را در خلاف جهت عقربه‌های ساعت که با $Q_{i}$ شروع می‌شوند را $R_{i1}$=$Q_{i}$, $R_{i2}$,…,$R_{in}$ می‌نامیم. فرض کنیم $R_{ij}$ اولین R ای باشد که در C است و یک ۴-همسایهٔ $P_{i}$ باشد. چنین $R_{ij}$ای باید وجود داشته باشد چون سی ۴-همبند است و بیشتر از یک نقطه دارد. اگر $R_{ij-1}$ در D باشد، $P_{i+1}$ را $R_{ij}$ می‌گیریم و $Q_{i+1}$ را $R_{ij-1}$، در غیر این صورت $P_{i+1}$ را $R_{ij-1}$ و $Q_{i+1}$ را $R_{ij-2}$ می‌گیریم. اگر برای یک i مثبت $P_{i}$ برابر $P_{0}$ شد و یکی از $R_{i1}$,…, $R_{ij}$ برابر $Q_{0}$، کار تمام است.

منابع

ویکی‌پدیای فارسی

ویکی‌پدیای انگلیسی

نظریهٔ محاسبه‌پذیری

محاسبه‌پذیری توانایی حل یک مسئله به روشی مؤثر است؛ که یک موضوع کلیدی در زمینه نظریه محاسبه پذیری در منطق ریاضی و نظریه محاسبات در علوم کامپیوتر است. محاسبه‌پذیری یک مسئله ارتباط نزدیکی با وجود یک الگوریتم برای حل مسئله دارد. گسترده‌ترین مدل‌های مورد مطالعه از محاسبات توابع تورینگ-محاسبه پذیر، μ-بازگشتی و حساب لامبدا هستند، که تمامی آن‌ها دارای قدرت محاسباتی معادل هستند. از انواع دیگر مطالعه محاسبه پذیری، همچنین: مفاهیم محاسبه‌پذیری ضعیف تر از ماشین‌های تورینگ که در نظریه اتوماتا مطالعه می‌شود و مفاهیم محاسبه‌پذیری قوی تر از ماشین تورینگ که در زمینه hypercomputation مطالعه می‌شود را می‌توان نام برد.

مسائل

ایده اساسی در محاسبه‌پذیری این است که یک مسئله که یک task است که محاسبه‌پذیری ان را می‌توان بررسی کرد. دو نوع اصلی از مسایل وجود دارد:

مسئلهٔ تصمیم پذیری، یک مجموعه S را معین می‌کند که ممکن است مجموعه‌ای از رشته‌ها، اعداد طبیعی، یا اشیاء دیگری باشد که از مجموعه بزرگتری مانند U امده‌اند باشد. یک مثال خاص از مسئله تصمیم‌گیری این است که ایا یک عنصر u دلخواه از U در S است. به عنوان مثال، اکر U مجموعهٔ اعداد طبیعی و S مجموعهٔ اعداد اول باشد، مسئلهٔ تصمیم‌گیری به تصمیم‌گیری اول بودن تبدیل می‌شود.

مسئلهٔ تابع، شامل یک تابع f از مجموعه U به V است. مجموعه به عنوان یک نمونه از مسئله محاسبهٔ مقدار تابع f برای u داده شده از مجموعه U است. به عنوان مثال، اگر U و V مجموعهٔ تمام رشته‌های دودویی متناهی باشند و f یک رشته را گرفته و معکوس آن را به عنوان خروجی برگرداند آنگاه f(۱۰۱۰) = ۱۰۱۰.

انواع دیگر مسایل شامل مسایل جستجو و مسایل بهینه‌سازی هستند.

یکی از اهداف نظریه محاسبه‌پذیری تعیین این است که کدام مسایل، یا کلاسی از مسئله‌ها، قابل حل در کدام یک از مدل‌های محاسبه‌پذیری هستند.

مدل های مبتنی بر هنزمانی

تعدادی از مدل‌های محاسباتی مبتنی بر همزمانی توسعه یافته‌اند، از جمله ماشین دسترسی تصادفی موازی و شبکه پتری . این مدل‌های محاسبات همزمان هنوز هیچ توابع ریاضی را که توسط ماشین‌های تورینگ قابل پیاده‌سازی نباشد، اجرا نمی‌کنند.

منابع

ویکی پدیای فارسی

ویکی پدیای انگلیسی

تقسیم طولانی چندجمله ای

تقسیم طولانی چندجمله‌ای،شاخه‌ای از جبر و نوعی الگوریتم به‌حساب می‌آید که در مورد تقسیم‌های اتحادی یا چندجمله‌ای می‌پردازد که شامل چندجمله ای هایی مثل تک‌جمله٬دوجمله‌ای٬سه‌جمله‌ای و... است.تقسیم چندجمله‌ای نوعی تقسیم اقلیدسی است و به آن تقسیم‌مصنوعی نیز می‌گوید.این تقسیم را اولین بار اقلیدوس استفاده کرد و به‌اسم او نام‌گذاری شده‌است.

تقسیم چندجمله‌ای به سه دسته تقسیم می‌شوند

1. تقسیم تک‌جمله‌ای بر تک‌جمله‌ای
2. تقسیم تک‌جمله‌ای بر چندجمله‌ای
3. تقسیم‌ چندجمله‌ای بر چندجمله‌ای

تعاریف

تعریف تقسیم و اجزای آن

در تقسیم‌ سه اصل وجود دارد که در تمامی تقسیم ها وجود دارد

۱-مقسوم

۲-مقسوم‌علیه

۳-خارج‌قسمت

مقسوم:به آن‌چیزی که مورد تقسیم قرار می‌گیرد گویند.

مقسوم علیه:به آن‌ چیزی که عامل تقسیم کردن مقسوم است گویند.

خارج‌قسمت:به آن‌ چیزی که مقسوم تا حد امکان دارد که از حاصل‌ضرب با مقسوم علیه و با اضافه با باقی‌مانده مقسوم را به وجود می‌آورد گویند.

نکته:درتقسیم ها هر گاه باقی مانده صفر شود می گوییم مقسوم بر مقسوم علیه بخش پذیر است.

تعریف تقسیم های چندجمله ای

تقسیم تک جمله ای بر تک جمله ای:به تقسیمی گفته میشود که یک تک جمله بر یک تک جمله دیگری تقسیم میشود. این تقسیم فقط یک تقسیم ضربی جبری در اتحاد های تکی است:(4ab=4×(ab

در این تقسیم

مقسوم علیه:کوچکترین عبارت تک جمله ای

خارج قسمت:مقدار متوسط عبارت تک جمله ای

مقسوم:بزرگترین عبارت تک جمله ای

مثال:

${\displaystyle {\frac {24x^{3}y^{2}}{4xy}}}$

تقسیم چندجمله ای بر چند جمله ای:به تقسیمی گفته می شود که یک چندجمله ای بر یک تک جمله ای تقسیم می شود مقسوم علیه عبارت تک جمله ای است و مقسوم چند جمله ای است.چند جمله ای دارای عبارت های تک جمله ای دارای جمع شدن است می گویند.

دراین تقسیم مقسوم‌علیه:کوچکترین عبارت تک جمله ای است مقسوم: بزرگترین چند جمله ای جمله ای خارج قسمت:یک عبارت چند جمله ای است و مقدار مقدار میانی دارد.

مثال: ${\displaystyle {\frac {24x^{3}y^{2}+18xy}{4xy}}}$

تقسیم چندجمله ای بر چند جمله ای:به تقسیمی گفته میشود مقسوم و مقسوم علیه و خارج قسمت آن چند جمله ای باشد و باقی مانده ممکن است چند جمله ای یا تک جمله ای یا صفر باشد؛در این تقسیم خارج قسمت باید بر اساس توان های نزولی که در مقسوم علیه ضرب و از باقی مانده جمع میشود برقرار باشد. در این تقسیم

مقسوم علیه:کوچکترین مقدار چند جمله ای

خارج قسمت:مقدار متوسط چند جمله ای

مقسوم:بزرگترین مقدار چند جمله ای

مثال تقسیم: ${\displaystyle {\frac {8x^{3}+12x^{2}+10x-24}{x-2}}}$

رابطه نویسی

تقسیم طولانی چند جمله‌ای الگوریتمی است که تقسیم اقلیدسی چندجمله‌ای را پیاده‌سازی می‌کند ، که با شروع از دو چندجمله‌ای A (بخش تقسیم‌کننده ) و B ( مقسوم‌کننده ) اگر B صفر نباشد، یک ضریب Q و یک باقیمانده R تولید می‌کند.

A = BQ + R

مثال: ${\displaystyle {\frac {8x^{2}+16x+12}{x+4}}}$

مقسوم:${8x^{2}+16x+12}$

مقسوم‌علیه:${x+4}$

خارج‌قسمت:$8x-16$

باقی‌مانده:$76$

رابطه این‌گونه نوشته می‌گردد:${(x-4)(8x-16)+76=(8x^{3}+16x+12)}$

تقسیم چندجمله ای مشتقی

تقسیم چندجمله ای مشتقی به تقسیمی گفته می شود که اتحاد چندجمله ای به صورت چندجمله ای مشتقی باشد که به ترتیب توان های آن در ضریب چندجمله ای ضرب شده و توان از آن به ازای یکی یکی کم می شود.

مثال

حاصل ضرب دو اتحاد چندجمله ای مشتقی برابر با$(x^{4}+4x^{3}+6x^{2}+8x+6)$است که مقسوم علیه آن برابر با$(x^{2}+2x+2)$است.خارج قسمت و باقی مانده را بیابید.

حل

طبق این کار تقسیم را انجام می دهیم

${\frac {(x^{4}+4x^{3}+6x^{2}+8x+6)}{\displaystyle (x^{2}+2x+2)}}$

بعد با انجام عملیات تقسیم به این رابطه می رسیم

• خارج قسمت:${\displaystyle (x^{2}+2x+2)}$
• باقی مانده:$2$

برنامه های کاربردی

فاکتورگیری چند جمله ای ها

گاهی اوقات یک یا چند ریشه از یک چند جمله ای شناخته می شود که شاید با استفاده از قضیه ریشه گویا پیدا شده باشد. اگر یک ریشه r از یک چند جمله ای P ( x ) درجه n شناخته شده باشد، می توان از تقسیم طولانی چند جمله ای برای فاکتور P ( x ) به شکل ( x − r ) ( Q ( x )) استفاده کرد که در آن Q ( x ) a است. چند جمله ای درجه n - 1. Q ( x ) به سادگی ضریب به دست آمده از فرآیند تقسیم است. از آنجایی که rبه عنوان ریشه P ( x ) شناخته می شود، معلوم است که باقیمانده باید صفر باشد.

به همین ترتیب، اگر بیش از یک ریشه شناخته شده باشد، یک عامل خطی ( x - r ) در یکی از آنها ( r ) را می توان برای بدست آوردن Q ( x ) تقسیم کرد و سپس یک جمله خطی در ریشه دیگر، s ، را می توان تقسیم کرد. از Q ( x ) و غیره. متناوباً، همه آنها را می توان یکباره تقسیم کرد: برای مثال عوامل خطی x - r و x - s را می توان با هم ضرب کرد تا ضریب درجه دوم x۲ - ( r + s ) x به دست آید. + rs،که سپس می توان آن را به چند جمله ای اصلی (P (x تقسیم کرد تا یک ضریب درجه n - 2 به دست آورد.

به این ترتیب، گاهی اوقات می توان تمام ریشه های یک چند جمله ای با درجه بزرگتر از چهار را به دست آورد، هرچند که همیشه ممکن نیست. به عنوان مثال، اگر قضیه ریشه گویا را بتوان برای به دست آوردن یک ریشه منفرد (گویا) از یک چند جمله‌ای پنج‌جمله‌ای استفاده کرد، می‌توان آن را برای به دست آوردن یک ضریب کوارتیک (درجه چهارم) فاکتور گرفت. فرمول صریح ریشه‌های یک چند جمله‌ای چهار جمله‌ای را می‌توان برای یافتن چهار ریشه دیگر کوانتیک استفاده کرد.

یافتن مماس بر توابع چندجمله ای

تقسیم طولانی چند جمله ای را می توان برای یافتن معادله خط مماس بر نمودار تابع تعریف شده توسط چند جمله ای (P (x در یک نقطه خاص x = r استفاده کرد.  اگر (R (x باقیمانده تقسیم (P (x بر x – r ) ²) باشد ، آنگاه معادله خط مماس در x = r به نمودار تابع (y = P (x است.

(y =R(x است، صرف نظر از اینکه r ریشه چند جمله ای باشد یا نه.

مثال

معادله خطی را که بر منحنی زیر مماس است در x = 1 بیابید :

$y=x^{3}-12x^{2}-42.$

با تقسیم چند جمله ای بر ( x − 1 ² = x ² − 2 x + 1) شروع کنید :

${\begin{array}{r}x-10\\x^{2}-2x+1\ {\overline {)\ x^{3}-12x^{2}+0x-42}}\\{\underline {x^{3}-{\color {White}0}2x^{2}+{\color {White}1}x}}{\color {White}{}-42}\\-10x^{2}-{\color {White}01}x-42\\{\underline {-10x^{2}+20x-10}}\\-21x-32\end{array}}$

خط مماس y = −21 x − 32 است.

بررسی افزونگی چرخه ای

بررسی افزونگی چرخه‌ای از باقیمانده تقسیم چند جمله‌ای برای شناسایی خطاها در پیام‌های ارسالی می‌کند.

منابع

ویکی پدیای انگلیسی

ریاضی پایه نهم دوره متوسطه اول(درس سوم فصل۷)

حساب دیفرانسیل

در ریاضیات، حساب دیفرانسیل یکی از زیرمجموعه‌های حسابان است که به مطالعهٔ نرخ تغییرات کمیت‌ها می‌پردازد. این حساب یکی از دو بخش سنتی حسابان است که بخش دیگر آن، حساب انتگرال است.

هدف اصلی مطالعهٔ حساب دیفرانسیل، محاسبهٔ تغیرات یک تابع و کاربردهای آن است. مشتق تابع در یک نقطهٔ دلخواه، نرخ تغییرات تابع در آن نقطه را توصیف می‌کند. فرایند یافتن مشتق، مشتق‌گیری نامیده می‌شود. از نظر هندسی، مشتق در یک نقطه شیب خط مماس روی نمودار تابع با جهت مثبت محور طول‌ها در همان نقطه است؛ به شرطی که مشتق در آن نقطه موجود باشد. مشتق تابع حقیقی یک‌متغیره در هر نقطه، بهترین تقریب خطی برای تابع در آن نقطه است.

حساب دیفرانسیل و حساب انتگرال با قضیهٔ اساسی حسابان به یکدیگر مرتبط می‌شوند. این قضیه بیان می‌کند که مشتق‌گیری معکوس انتگرال‌گیری است.

مشتق‌گیری تقریباً در همهٔ علوم کمّی کاربرد دارد. برای نمونه، در فیزیک، مشتق جابجایی یک جسم متحرک برحسب زمان نشان دهندهٔ سرعت آن جسم و مشتق سرعت برحسب زمان بیانگر شتاب است. مشتق تکانهٔ یک جسم معادل با نیروی وارد بر آن جسم است و بازنویسی این مشتق‌گیری معادلهٔ معروف F=ma را که متناظر با قانون دوم حرکت نیوتن است، به دست می‌دهد. نرخ واکنش یک واکنش شیمیایی، یک مشتق است. مشتقات در تحقیق در عملیات، پربازده‌ترین روش‌های حمل مواد و طراح کارخانه‌ها را تعیین می‌کنند.

مشتقات برای یافتن بیشینه و کمینهٔ یک تابع نیز به کار می‌روند. معادلات دربرگیرندهٔ مشتقات، معادلات دیفرانسیل نامیده می‌شوند و در توصیف پدیده‌های طبیعی دارای اهمیت هستند. از مشتقات و تعمیم آن‌ها در بسیاری از شاخه‌های ریاضیات، مانند آنالیز مختلط، آنالیز تابعی، هندسهٔ دیفرانسیل، نظریهٔ اندازه و جبر مجرد بهره برده می‌شود.

منابع

ویکی پدیای فارسی

انتگرال

در ریاضیات، انتگرال ، روشی برای اختصاص اعداد به توابع است؛ به گونه‌ای که جابجایی، مساحت، حجم و دیگر مفاهیم برآمده از ترکیب داده‌های بی‌نهایت کوچک را به وسیله آن بتوان توصیف کرد. انتگرال‌گیری یکی از دو عمل مهم در حساب دیفرانسیل و انتگرال است، که عمل دیگر آن(عمل معکوس) دیفرانسیل‌گیری یا همان مشتق‌گیری است. برای تابع داده شده‌ای چون f از متغیر حقیقی x و بازه $[a,b]$ از خط حقیقی،به صورت ساده و انتگرال معین نوشته می گردد:

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx$

به‌طور صوری به عنوان مساحت علامت‌دار ناحیه‌ای از صفحه xy که به نمودار f، محور x و خطوط عمودی x=a و x=b محدود شده‌است. نواحی بالای محور x به مساحت کل افزوده و نواحی پایین محور x از آن می‌کاهند.

عملیات انتگرال‌گیری، در حد یک مقدار ثابت (یعنی بدون در نظر گرفتن یک مقدار ثابت)، معکوس عملیات دیفرانسیل‌گیری است. بدین منظور، اصطلاح انتگرال را می‌توان به معنای پاد-مشتق نیز به کار برد، یعنی تابعی چون F که مشتقش تابع داده شده‌ی f باشد. در این حالت به انتگرال f، انتگرال نامعین گفته شده و به صورت زیر نوشته می‌شود:

$F(x)=\int f(x)\,dx.$

انتگرال‌هایی که در این مقاله مورد بحث قرار می‌گیرند از نوع انتگرال معین اند. قضیه اساسی حساب، دیفرانسیل‌گیری را به انتگرال معین ارتباط می‌دهد: اگر f یک تابع پیوسته حقیقی مقدار روی بازهٔ $[a,b]$ باشد، آنگاه زمانی که پاد مشتق f یعنی F، معلوم باشد، انتگرال f روی آن بازه مساوی است با:

$\int _{a}^{b}\,f(x)dx=\left[F(x)\right]_{a}^{b}=F(b)-F(a)\,.$

اصول انتگرال‌گیری به‌طور مستقل توسط اسحاق نیوتون و گوتفرید ویلهلم لایبنیز در اواخر قرن هفدهم میلادی قاعده‌بندی شد، آن‌ها انتگرال را به صورت جمع مستطیل‌هایی با عرض‌های بی‌نهایت کوچک می‌دیدند. برنارد ریمان تعریف دقیقی از انتگرال ارائه نمود. این تعریف بر اساس فرایند حد گیری است که مساحت زیر نمودار یک خم را با شکستن آن ناحیه به قطعات نازک عمودی تخمین می‌زند. با شروع قرن نوزدهم میلادی، مفاهیم پیچیده‌تری از انتگرال ظهور پیدا کرد که در آن نوع تابع به علاوه دامنه انتگرال‌گیری تعمیم یافت. انتگرال خطی برای توابع دو یا چند متغیره تعریف شده‌است و بازه انتگرال‌گیری $[a,b]$ در آن با خمی که دو نقطه ابتدا و انتهای انتگرال‌گیری را به هم متصل می‌کند جایگزین شده‌است. در انتگرال سطح (یا انتگرال رویه ای)، خم با یک رویه در فضای سه بعدی جایگزین می‌شود.

تفاسیر

انتگرال ها در بسیاری از موقعیت های عملی ظاهر می شوند. به عنوان مثال، از طول، عرض و عمق یک استخر شنا که مستطیل شکل با کف صاف است، می توان حجم آبی که می تواند داشته باشد، مساحت سطح و طول لبه آن را تعیین کرد. اما اگر بیضی شکل با پایین گرد باشد، برای یافتن مقادیر دقیق و دقیق برای این کمیت ها، انتگرال ها مورد نیاز است. در هر مورد، می‌توان مقدار مورد نظر را به بی‌نهایت قطعات بی‌نهایت کوچک تقسیم کرد، سپس قطعات را جمع کرد تا به یک تقریب دقیق دست یافت.

به عنوان مثال، برای یافتن مساحت ناحیه محدود شده توسط نمودار تابع f ( x ) = √ x بین x = 0 و x = 1 ، می توان از فاصله در پنج مرحله عبور کرد ( 0، 1/5، 2/ 5، ...، 1 )، سپس با استفاده از ارتفاع سمت راست انتهای هر قطعه یک مستطیل را پر کنید (بنابراین √ 0 ، √ 1/5 ، √ 2/5 ، ...، √ 1 ) و مساحت آنها را جمع کنید تاتقریب از یک عدد به دست آید.$\textstyle {\sqrt {\frac {1}{5}}}\left({\frac {1}{5}}-0\right)+{\sqrt {\frac {2}{5}}}\left({\frac {2}{5}}-{\frac {1}{5}}\right)+\cdots +{\sqrt {\frac {5}{5}}}\left({\frac {5}{5}}-{\frac {4}{5}}\right)\approx 0.7497,$که از مقدار دقیق آن بزرگتر است. از طرف دیگر، هنگام جایگزینی این زیر بازه‌ها با یکی با ارتفاع انتهای سمت چپ هر قطعه، تقریبی که بدست می‌آید بسیار کم است: با دوازده زیر بازه، مساحت تقریبی فقط 0.6203 است. با این حال، زمانی که تعداد قطعات تا بی نهایت افزایش یابد، به حدی می رسد که مقدار دقیق مساحت مورد نظر است (در این مورد، 2/3یکی می نویسد)

$\int _{0}^{1}{\sqrt {x}}\,dx={\frac {2}{3}},$

تعاریف رسمی

راه های زیادی برای تعریف رسمی یک انتگرال وجود دارد که همه آنها معادل نیستند. تفاوت ها عمدتاً برای رسیدگی به موارد خاص متفاوت وجود دارد که ممکن است تحت تعاریف دیگر قابل ادغام نباشند، اما گاهی اوقات به دلایل آموزشی نیز وجود دارد. متداول ترین تعاریف انتگرال ریمان و انتگرال لبگ هستند.

انتگرال ریمان

انتگرال ریمان بر اساس مجموع توابع ریمان با توجه به پارتیشن های برچسب گذاری شده یک بازه تعریف می شود.  یک پارتیشن برچسب گذاری شده از یک بازه بسته [ a , b ] روی خط واقعی یک دنباله محدود است.

$a=x_{0}\leq t_{1}\leq x_{1}\leq t_{2}\leq x_{2}\leq \cdots \leq x_{n-1}\leq t_{n}\leq x_{n}=b.\,\!$

این بازه [ a , b ] را به n بازه فرعی [ xi _{−1 ،} xi ] که با i نمایه _شده است تقسیم می‌کند، که هر کدام با یک نقطه متمایز t _i ∈ [xi -1 _، x i _] « _برچسب » شده‌اند _. . مجموع ریمان تابع f با توجه به چنین پارتیشن برچسب‌گذاری شده به صورت تعریف می‌شود

$\sum _{i=1}^{n}f(t_{i})\,\Delta _{i};$

بنابراین هر جمله از مجموع مساحت یک مستطیل با ارتفاع برابر با مقدار تابع در نقطه متمایز از بازه فرعی داده شده، و عرض برابر با عرض فاصله فرعی، Δ _i = x _i - x _{i است. -1} . مش چنین پارتیشن برچسب گذاری شده ای عرض بزرگترین بازه فرعی است که توسط پارتیشن تشکیل شده است، max _{i = 1... n} Δ _i . انتگرال ریمان تابع f در بازه [ a , b ] برابر با S است اگر:

برای همه$\varepsilon >0$وجود دارد$\delta >0$باشد به طوری که $\delta$برای هر[a,b] برچسب گذاری شده باشد کمتر از هنگامی که تگ‌های انتخابی حداکثر (به ترتیب، حداقل) مقدار هر بازه را می‌دهند، مجموع ریمان به جمع داربوکس بالایی (به ترتیب، پایین‌تر) تبدیل می‌شود که ارتباط نزدیک بین انتگرال ریمان و انتگرال داربو را نشان می‌دهد .

$\left|S-\sum _{i=1}^{n}f(t_{i})\,\Delta _{i}\right|<\varepsilon .$

انتگرال لبگ

غالباً چه در تئوری و چه در کاربردها، قابل توجه است که بتوان از حد انتگرال عبور کرد. برای مثال، اغلب می‌توان دنباله‌ای از توابع را ساخت که به معنایی مناسب، راه‌حل یک مسئله را تقریب می‌کنند. سپس انتگرال تابع حل باید حد انتگرال تقریب ها باشد. با این حال، بسیاری از توابعی که می توان به عنوان حد به دست آورد، قابل انتگرال پذیری ریمان نیستند، و بنابراین چنین قضایای حدی با انتگرال ریمان سازگار نیستند. بنابراین، داشتن تعریفی از انتگرال که امکان ادغام کلاس وسیع تری از توابع را فراهم می کند، اهمیت زیادی دارد.

چنین انتگرالی انتگرال لبگ است که از واقعیت زیر برای بزرگ‌تر کردن کلاس توابع انتگرال‌پذیر استفاده می‌کند: اگر مقادیر یک تابع در دامنه مرتب شوند، انتگرال یک تابع باید ثابت بماند. همانطور که فولاند می‌گوید، «برای محاسبه انتگرال ریمان f ، دامنه [ a , b ] را به زیر بازه‌ها تقسیم می‌کنیم، در حالی که در انتگرال لبگ، «در واقع محدوده f را تقسیم می‌کنیم.  بنابراین تعریف انتگرال لبگ با یک اندازه آغاز می شود ، μ. در ساده ترین حالت، اندازه گیری لبگ (μ ( A یک بازه [A = [ a , b عرض آن است، b − a، به طوری که انتگرال لبگ با انتگرال (مناسب) ریمان در زمانی که هر دو وجود دارند موافق است.  در موارد پیچیده‌تر، مجموعه‌هایی که اندازه‌گیری می‌شوند می‌توانند بسیار پراکنده باشند، بدون پیوستگی و هیچ شباهتی به فواصل.

با استفاده از فلسفه "تقسیم بندی محدوده f "، انتگرال یک تابع غیرمنفی f  : R → R باید مجموع بیش از t مناطق بین یک نوار افقی نازک بین y = t و y = t + dt باشد. این ناحیه فقط μ { x  : f ( x ) > t }  dt است . فرض کنید f ^∗ ( t ) = μ { x  : f ( x) > t } . سپسfتوسط انتگرال لبگ تعریف می شود

$\int f=\int _{0}^{\infty }f^{*}(t)\,dt$

جایی که انتگرال سمت راست یک انتگرال ریمان نامناسب معمولی است ( f ^∗ یک تابع مثبت کاملاً کاهشی است و بنابراین دارای یک انتگرال ریمان نامناسب کاملاً تعریف شده است ).  برای یک کلاس مناسب از توابع (توابع قابل اندازه گیری ) این انتگرال لبگ را تعریف می کند.

اگر مجموع مقادیر مطلق نواحی بین نمودار f و محور x محدود باشد، یک تابع قابل اندازه‌گیری کلی f ، قابل انتگرال‌پذیری لبگ است:

$\int _{E}|f|\,d\mu <+\infty .$

در آن صورت، انتگرال، مانند حالت ریمانی، تفاوت بین ناحیه بالای محور x و ناحیه زیر محور x است:

$\int _{E}f\,d\mu =\int _{E}f^{+}\,d\mu -\int _{E}f^{-}\,d\mu$

جایی که${\begin{alignedat}{3}&f^{+}(x)&&{}={}\max\{f(x),0\}&&{}={}{\begin{cases}f(x),&{\text{if }}f(x)>0,\\0,&{\text{otherwise,}}\end{cases}}\\&f^{-}(x)&&{}={}\max\{-f(x),0\}&&{}={}{\begin{cases}-f(x),&{\text{if }}f(x)<0,\\0,&{\text{otherwise.}}\end{cases}}\end{alignedat}}$

خواص

خطی بودن

مجموعه توابع قابل ادغام ریمان در یک بازه بسته [ a , b ] یک فضای برداری را تحت عملیات جمع نقطه ای و ضرب توسط یک اسکالر و عملیات یکپارچه سازی تشکیل می دهد.

$f\mapsto \int _{a}^{b}f(x)\;dx$

یک تابع خطی در این فضای برداری است. بنابراین، مجموعه توابع انتگرال پذیر با گرفتن ترکیبات خطی بسته می شود ، و انتگرال یک ترکیب خطی، ترکیب خطی انتگرال ها است:

$\int _{a}^{b}(\alpha f+\beta g)(x)\,dx=\alpha \int _{a}^{b}f(x)\,dx+\beta \int _{a}^{b}g(x)\,dx.\,$

به طور مشابه، مجموعه توابع انتگرال پذیر Lebesgue با ارزش واقعی در فضای اندازه گیری داده شده E با اندازه گیری μ تحت ترکیب های خطی بسته می شود و بنابراین یک فضای برداری و انتگرال لبگ را تشکیل می دهد.

$f\mapsto \int _{E}f\,d\mu$

یک تابع خطی در این فضای برداری است، به طوری که:

$\int _{E}(\alpha f+\beta g)\,d\mu =\alpha \int _{E}f\,d\mu +\beta \int _{E}g\,d\mu .$

به طور کلی، فضای برداری همه توابع قابل اندازه گیری را در یک فضای اندازه گیری در نظر بگیرید ( E , μ ) و مقادیر را در یک فضای برداری توپولوژیکی کامل فشرده محلی V روی یک میدان توپولوژیکی فشرده محلی K ، f  : E → V در نظر بگیرید. سپس می توان یک نقشه انتزاعی انتزاعی تعریف کرد که به هر تابع یک عنصر از V یا نماد ∞ اختصاص می دهد ،

$f\mapsto \int _{E}f\,d\mu ,\,$

که با ترکیبات خطی سازگار است.  در این وضعیت، خطی بودن برای زیرفضای توابعی که انتگرال آنها عنصری از V است (یعنی "محدود") برقرار است. مهم‌ترین موارد خاص زمانی به وجود می‌آیند که K R ، C یا یک گسترش متناهی از میدان Q _p از اعداد پی آدیک باشد ، و V یک فضای برداری با بعد محدود روی K باشد، و زمانی که K = C و V یک مختلط است. فضای هیلبرت

خطی بودن، همراه با برخی ویژگی‌های پیوستگی طبیعی و نرمال‌سازی برای کلاس خاصی از توابع «ساده»، ممکن است برای ارائه یک تعریف جایگزین از انتگرال استفاده شود. این رویکرد دانیل برای مورد توابع با ارزش واقعی در مجموعه X است که توسط نیکلاس بورباکی به توابع با مقادیر در یک فضای برداری توپولوژیکی فشرده محلی تعمیم داده شده است. برای توصیف بدیهی انتگرال به هیلدبراند 1953 مراجعه کنید .

نابرابری ها

تعدادی از نابرابری‌های کلی برای توابع قابل انتگرال‌پذیری ریمان که در بازه‌های بسته و محدود [ a , b ] تعریف شده‌اند وجود دارند و می‌توان آن‌ها را به مفاهیم دیگر انتگرال تعمیم داد (لبگ و دانیل).

• مرزهای بالا و پایین. یک تابع انتگرال پذیر f در [ a , b ] ، لزوماً در آن بازه محدود است. بنابراین اعداد حقیقی m و M وجود دارند به طوری که m ≤ f  ( x ) ≤ M برای همه x در [ a , b ] . از آنجایی که مجموع پایین و بالایی f بیش از [ a , b ] به ترتیب با m محدود می شوند ( b-a ) و M ( b − a ) ، نتیجه می شود که

$$m(b-a)\leq \int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq M(b-a).$$

• نابرابری بین توابع  اگر f ( x ) ≤ g ( x ) برای هر x در [ a , b ] ، هر یک از مجموع بالا و پایین f در بالا به ترتیب با مجموع بالا و پایین g محدود می شود. بدین ترتیب

$$\int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq \int _{a}^{b}g(x)\,dx.$$ این تعمیم نابرابری های فوق است، زیرا M ( b - a ) انتگرال تابع ثابت با مقدار M بیش از [ a , b ] است. علاوه بر این، اگر نابرابری بین توابع دقیق باشد، نابرابری بین انتگرال ها نیز شدید است. یعنی اگر f ( x ) < g ( x ) برای هر x در [ a , b ]

$$\int _{a}^{b}f(x)\,dx<\int _{a}^{b}g(x)\,dx.$$

• زیر بازه ها اگر [ c , d ] زیر بازه ای از [ a , b ] باشد و f  ( x ) برای همه x غیر منفی باشد ، آنگاه

$$\int _{c}^{d}f(x)\,dx\leq \int _{a}^{b}f(x)\,dx.$$

• محصولات و مقادیر مطلق توابع. اگر f و g دو تابع باشند، ممکن است حاصل ضربات نقطه‌ای و توان و مقادیر مطلق آنها را در نظر بگیریم :

$$(fg)(x)=f(x)g(x),\;f^{2}(x)=(f(x))^{2},\;|f|(x)=|f(x)|.$$ اگر f روی [ a , b ] قابل ادغام ریمان باشد ، در مورد نیز همینطور است| f | ، و

$$\left|\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right|\leq \int _{a}^{b}|f(x)|\,dx.$$ علاوه بر این، اگر f و g هر دو انتگرال پذیر ریمان باشند، fg نیز قابل انتگرال پذیری ریمان است، و

$$\left(\int _{a}^{b}(fg)(x)\,dx\right)^{2}\leq \left(\int _{a}^{b}f(x)^{2}\,dx\right)\left(\int _{a}^{b}g(x)^{2}\,dx\right).$$ این نابرابری که به نام نابرابری کوشی-شوارتز شناخته می‌شود ، نقش برجسته‌ای در نظریه فضای هیلبرت بازی می‌کند، جایی که سمت چپ به عنوان حاصلضرب درونی دو تابع مربع‌پذیر f و g در بازه [ a ، b ] تفسیر می‌شود .

• نابرابری هلدر  فرض کنید که p و q دو عدد واقعی هستند، 1 ≤ p , q ≤ ∞ با1/پ+1/q= 1 و f و g دو تابع قابل ادغام ریمان هستند. سپس توابع | f | ^p و | g | ^q نیز انتگرال پذیر هستند و نابرابری هلدر زیر صادق است: برای p = q = 2 ، نابرابری هولدر به نابرابری کوشی-شوارتز تبدیل می شود.
• نابرابری مینکوفسکی  فرض کنید که p ≥ 1 یک عدد واقعی است و f و g توابع قابل انتگرال گیری ریمان هستند. سپس | f | ^p , | g | ^p و | f + g | ^p همچنین قابل ادغام ریمان هستند و نابرابری مینکوفسکی زیر صادق است:

$$\left|\int f(x)g(x)\,dx\right|\leq \left(\int \left|f(x)\right|^{p}\,dx\right)^{1/p}\left(\int \left|g(x)\right|^{q}\,dx\right)^{1/q}.$$ یک آنالوگ این نابرابری برای انتگرال لبگ در ساخت فضاهای L ^p استفاده می شود.

کنوانسیون ها

در این بخش، f یک تابع قابل ادغام ریمان با ارزش واقعی است . انتگرال

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx$

در یک بازه [ a , b ] تعریف می شود اگر a < b . این بدان معنی است که مجموع بالا و پایین تابع f در یک پارتیشن a = x ₀ ≤ x ₁ ≤ ارزیابی می شود. . . ≤ x _n = b که مقادیر x _i در حال افزایش است. از نظر هندسی، این نشان می‌دهد که ادغام از چپ به راست انجام می‌شود و f را در فواصل زمانی [ xi  ، x _{i  +1} ] ارزیابی می‌کند _.جایی که یک بازه با شاخص بالاتر در سمت راست یک با شاخص کمتر قرار دارد. مقادیر a و b ، نقاط انتهایی بازه ، حدود یکپارچه سازی f نامیده می شوند . انتگرال ها همچنین می توانند تعریف شوند اگر a > b :

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx=-\int _{b}^{a}f(x)\,dx.$

با a = b ، این نشان می دهد:

$\int _{a}^{a}f(x)\,dx=0.$

اولین قرارداد با توجه به در نظر گرفتن انتگرال ها بر فرعی بازه های [ a , b ] ضروری است . دومی می گوید که انتگرال گرفته شده در یک بازه منحط، یا یک نقطه ، باید صفر باشد . یکی از دلایل قرارداد اول این است که انتگرال پذیری f در بازه [ a , b ] دلالت بر این دارد که f در هر زیر بازه [ c , d ] قابل انتگرال است، اما به طور خاص انتگرال ها این ویژگی را دارند که اگر c هر عنصری از [ a باشد. ،b ] ، سپس:

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx=\int _{a}^{c}f(x)\,dx+\int _{c}^{b}f(x)\,dx.$

با اولین قرارداد، رابطه حاصل

${\begin{aligned}\int _{a}^{c}f(x)\,dx&{}=\int _{a}^{b}f(x)\,dx-\int _{c}^{b}f(x)\,dx\\&{}=\int _{a}^{b}f(x)\,dx+\int _{b}^{c}f(x)\,dx\end{aligned}}$

سپس برای هر جایگشت چرخه ای a ، b و c به خوبی تعریف می شود .

منابع

ویکی پدیای فارسی

ویکی پدیای انگلیسی

محتوای این صفحه در حال تحقیق است.

انتگرال سری فوریه

انتگرال سری فوریه،نوعی انتگرال است که موارد سری فوریه پیچیده را بااستفاده از انتگرال بدست می آید.انتگرال سری فوریه موارد های نامتناهی پیچیده که به صورت تابعی وبه صورت مثلثاتی است را با آنالیز،انتگرال جز به جز و به صورت محاسبه الگوی متناهی و نامتناهی، محاسبه می کند.این انتگرال پیشرفته تر از انتگرال فوریه است،در اینجا عددپی به صورت رادیان محاسبه می گردد البته انتگرال سری فوریه به صورت آنالیز فوریه نیز عمل می کند.

این موضوع را می توان گفت که ادامه مبحث بزرگ علم سری فوریه است که با نام انتگرال گیری سری فوریه،سری فوریه و انتگرال نیز هم گفته می شود.

مثال

نمونه مثال

سری فوریه تابعی(f(xبرابرباx²است که در آنxکوچکتر از2π و بزرگتر از0 است را محاسبه کنید و حاصل عبارت $\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{n^{2}}}$ را بدست آورید

حل

ابتدا تابعی را می کشیم که به صورت تابعx^2است بعد مسافت طول تابع را عدد2πمی گوییم و ارتفاع آن با محاسبه به4π²می رسیم.

در اینجا به روش دیریکله می رویم.

دوره تناوب=2π

چون دروه تناوب برابربا2πاست پس نصع دوره تناوب که عددLاست برابر باπاست پس(L=π)است

حالا ما به روش انتگرال دوره تناوب را بدست می آوریم.${\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{2\pi }x^{2}dx={\frac {x^{3}}{3}}={\frac {1}{\pi }}(0+{\frac {8\pi ^{3}}{3}})={\frac {8\pi ^{2}}{3}}$دوره تناوب که بدست آمد سری فوریه با انتگرال به صورت جز به جز می نویسیم.ابتدا از کسینوس شروع می کنیم

${\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{2\pi }x^{2}cos(nx)dx$

بعد اینگونه می نویسیم.چون در اینجا مسئله ازnحرف زده استnرا به صورت کسری درxضرب می کنیم تا سری فوریه برقرار باشد.ابتدا انتگرال گیری جز به جز را محاسبه و بعد رابطه نویسی می کنیم.${\displaystyle 0,2\pi [{\frac {x^{2}}{n}}sin(nx)-{\frac {2x}{n^{2}}}cos(nx)+{\frac {2}{n^{3}}}sin(nx)dx]=[0+{\frac {4\pi }{n}}-0-(0+0-0)]={\frac {4}{n}}}$بعد به انتگرال جز به جز سینوس می رسیم.

${\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{2\pi }x^{2}sin(nx)dx$

ابتدا انتگرال گیری جز به جز را محاسبه و بعد رابطه نویسی می کنیم.$0,2\pi [-{\frac {x^{2}}{n}}cos(nx)-{\frac {2x}{n^{2}}}sin(nx)+{\frac {2}{n^{3}}}cos(nx)dx]={\frac {1}{\pi }}[-{\frac {4\pi ^{2}}{n}}-0+{\frac {2}{n^{3}}}-0-0+{\frac {2}{n^{3}}}]=-{\frac {4\pi }{n}}$دراینجا کار تمام می شود و رابطه نویسی کامل می کنیم.در اینجا دوره تناوب در تابع نصف می گرد تا حد تناهی باهم منطبق گردد$f(x)={\frac {4\pi ^{2}}{3}}+\sum _{n=1}^{N}{\frac {4}{n^{2}}}cos(nx)-{\frac {4\pi }{n}}sin(nx)$برای محاسبه اگرx=0،2π جواب باهم برابر است که اینگونه می گرد

$f(x)={\frac {4\pi ^{2}}{3}}+\sum _{n=1}^{N}{\frac {4}{n^{2}}}=2\pi ^{2}$

$\sum _{n=1}^{N}{\frac {4}{n^{2}}}$براساس معادله بدست می آید

$\sum _{n=1}^{N}{\frac {4}{n^{2}}}=2\pi ^{2}-{\frac {4\pi ^{2}}{3}}={\frac {2\pi ^{2}}{3}}$

این طرفین با تقسیم بر چهار مقدار بدست می آید که برابر است با:

$\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}$

منابع

تحقیقی از ویکی پدیای فارسی

فیلمی از مجله مسیر فردا

math.stackexchange.com https://math.stackexchange.com › ... Integration and differentiation of Fourier series

سری فوریه

سری فوریه بسطی است که هر تابع متناوب را به صورت حاصل جمع تعدادی نامتناهی از توابع نوسانی ساده (سینوسی، کسینوسی یا تابع نمایی مختلط) بیان می‌کند. این تابع به نام ریاضیدان بزرگ فرانسوی، ژوزف فوریه نامگذاری شده‌است. با بسط هر تابع به صورت سری فوریه، مولفه‌های بسامدی آن تابع به دست می‌آید.

یکی دیگر از تکنیک های تحلیل (که در اینجا به آن پرداخته نمی شود)، مناسب برای توابع دوره ای و غیر تناوبی، تبدیل فوریه است که یک پیوستار فرکانس از اطلاعات مؤلفه را ارائه می دهد. اما وقتی برای یک تابع تناوبی اعمال می شود، همه اجزاء دارای دامنه صفر هستند، به جز در فرکانس های هارمونیک. تبدیل فوریه معکوس یک فرآیند سنتز است (مانند سری فوریه)، که اطلاعات مؤلفه (اغلب به عنوان نمایش دامنه فرکانس شناخته می شود) را به بازنمایی حوزه زمانی خود تبدیل می کند. از زمان فوریه، رویکردهای مختلفی برای تعریف و درک مفهوم سری فوریه کشف شده است که همگی با یکدیگر همخوانی دارند، اما هر کدام بر جنبه های مختلف موضوع تأکید دارند. برخی از رویکردهای قدرتمندتر و ظریف‌تر مبتنی بر ایده‌ها و ابزارهای ریاضی هستند که در زمان فوریه در دسترس نبودند. فوریه در ابتدا سری فوریه را برای توابع با ارزش واقعی آرگومان های واقعی تعریف کرد و از توابع سینوس و کسینوس به عنوان مجموعه پایه برای تجزیه استفاده کرد. بسیاری از تبدیل‌های مرتبط با فوریه از آن زمان تعریف شده‌اند و ایده اولیه او را به بسیاری از کاربردها گسترش داده و حوزه‌ای از ریاضیات به نام تحلیل فوریه را ایجاد کرده‌اند.

تاریخچه

سری فوریه به افتخار ژان باپتیست ژوزف فوریه (1768-1830) نامگذاری شده است، که پس از تحقیقات اولیه توسط لئونارد اویلر، ژان لو روند دالامبر و دانیل برنولی، سهم مهمی در مطالعه سری‌های مثلثاتی داشت. فوریه این مجموعه را با هدف حل معادله گرما در یک صفحه فلزی معرفی کرد و نتایج اولیه خود را در سال 1807 در کتاب خاطرات انتشار گرما در اجسام جامد (رساله انتشار گرما در اجسام جامد) منتشر کرد. Théorie analytique de la chaleur (نظریه تحلیلی گرما) او در سال 1822. Mémoire تجزیه و تحلیل فوریه، به ویژه سری فوریه را معرفی کرد. از طریق تحقیقات فوریه، این واقعیت ثابت شد که یک تابع دلخواه (در ابتدا، پیوسته و بعداً به هر قطعه ای-صاف تعمیم داده شد) را می توان با یک سری مثلثاتی نشان داد. اولین اعلام این کشف بزرگ توسط فوریه در سال 1807 و قبل از آکادمی فرانسه صورت گرفت. ایده‌های اولیه تجزیه یک تابع تناوبی به مجموع توابع نوسانی ساده به قرن سوم قبل از میلاد برمی‌گردد، زمانی که ستاره‌شناسان باستان یک مدل تجربی از حرکات سیاره‌ای را بر اساس دفرنت‌ها و epicycles پیشنهاد کردند. معادله گرما یک معادله دیفرانسیل جزئی است. قبل از کار فوریه، هیچ راه حلی برای معادله گرما در حالت کلی شناخته نشده بود، اگرچه اگر منبع گرما به روشی ساده رفتار می کرد، به ویژه اگر منبع گرما یک موج سینوسی یا کسینوس بود، راه حل های خاصی شناخته شدند. این راه حل های ساده اکنون گاهی اوقات راه حل های ویژه نامیده می شوند. ایده فوریه این بود که یک منبع گرمایی پیچیده را به عنوان یک برهم نهی (یا ترکیب خطی) از امواج ساده سینوسی و کسینوس، و نوشتن راه حل به عنوان برهم نهی از محلول های ویژه مربوطه، مدل کند. این برهم نهی یا ترکیب خطی سری فوریه نامیده می شود. از دیدگاه مدرن، نتایج فوریه تا حدودی غیر رسمی هستند، به دلیل فقدان مفهوم دقیق عملکرد و انتگرال در اوایل قرن نوزدهم. بعداً، پیتر گوستاو لژون دیریکله و برنهارد ریمان نتایج فوریه را با دقت و رسمی بیشتری بیان کردند. اگرچه انگیزه اصلی حل معادله گرما بود، اما بعداً مشخص شد که تکنیک‌های مشابه را می‌توان برای طیف گسترده‌ای از مسائل ریاضی و فیزیکی، و به‌ویژه آن‌هایی که شامل معادلات دیفرانسیل خطی با ضرایب ثابت هستند، به کار برد، که حل‌های ویژه برای آنها سینوسی هستند. سری فوریه کاربردهای زیادی در مهندسی برق، تحلیل ارتعاش، آکوستیک، اپتیک، پردازش سیگنال، پردازش تصویر، مکانیک کوانتومی، اقتصاد سنجی،نظریه پوسته،و... دارد.

تعریف

پیش گفتار

توابع مورد استفاده در مهندسی و توابع نمایانگر سیگنال‌ها معمولاً توابعی از زمان هستند یا به عبارت دیگر توابعی که در میدان زمان تعریف شده‌اند. برای حل بسیاری از مسائل بهتر است که تابع در دامنه فرکانس تعریف شده باشد؛ زیرا این دامنه ویژگی‌هایی دارد که به راحتی محاسبات می‌انجامد.

فرض کنید که تابعی به شکل زیر تعریف شده‌است:

$x=\sum _{k=1}^{N}{A_{k}}cos(\omega _{k}t+\theta _{k})\,\!$

که در آن $N$ یک عدد صحیح مثبت، $A_{k}$ دامنه، $\omega _{k}$ بسامد و $\theta _{k}$ فاز توابع کسینوسی می‌باشد. قابل مشاهده است که با در دست داشتن بسامدها $\omega _{1},\omega _{2}\ldots \omega _{N}$، دامنه‌ها $A_{1},A_{2}\ldots A_{N}$ و فازها $\theta _{1},\theta _{2}\ldots \theta _{N}$ تابع به‌طور کامل قابل تعریف است. توجه شود که بر اساس گفته‌های بالا تابع مستقل از زمان قابل تعریف است.

نمایش‌های مختلف سری فوریه

نمایش مثلثاتی

اگر $f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {C}$ یک تابع متناوب با دوره تناوب $T$ باشد (یا به عبارتی: ‎$f(t+T)=f(t)$‎) آنگاه این تابع را می‌توان به صورت زیر نوشت:

$f(t)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }[a_{n}\cos(\omega _{n}t)+b_{n}\sin(\omega _{n}t)]\,\!$

که در آن $\omega _{n}$ هارمونیک nام سری فوریه با رادیان بوده و ضرایب $a_{n}$، $a_{0}$ و $b_{n}$ را می‌توان از فرمول‌های اویلر بدست آورد.
فوریه بر این باور بود که هرگونه تابع متناوب را می‌توان به صورت جمعی از توابع سینوسی نوشت. این مطلب درست نیست. شرایط لازم برای هر تابع متناوب برای اینکه به صورت سری فوریه نوشته شود به صورت زیر است:

1. تابع در هر دورهٔ تناوبی انتگرال پذیر باشد:

$\int _{a}^{a+T}{\left\vert f(x)\right\vert }dx<\infty$

1. تابع فقط شمار محدودی بیشینه و کمینه داشته باشد.
2. تابع فقط شمار محدودی ناپیوستگی داشته باشد.

نمایش مختلط

سری فوریه می‌تواند به صورت زیر نیز نوشته شود:

$f(t)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }c_{n}e^{i\omega _{n}t}\,\!$

و در اینجا:

$c_{n}={\frac {1}{T}}\int _{t_{1}}^{t_{2}}f(t)e^{-i\omega _{n}t}\,dt\,\!$

این رابطه با کمک فرمول اویلر قابل گسترش به صورت زیر است:

$\sum _{n=-\infty }^{+\infty }(c_{n}cos({w_{n}}t)+ic_{n}sin({w_{n}}t))\,\!$

اگر این رابطه را به‌طور مستقیم با نمایش مثلثی مقایسه کنیم مشاهده می‌شود که $c_{n}$ به طریق زیر نیز قابل محاسبه است:

$c_{n}={\frac {1}{2}}(a_{n}-ib_{n})\,\!$

$c_{-n}={\frac {1}{2}}(a_{n}+ib_{n})\,\!$

نمایش کسینوس-با-فاز

نمایش زیر که در واقع شکل ویژه‌ای از نمایش مثلثی می‌باشد، نمایش کسینوس-با-فاز نام دارد. از این نمایش در رسم طیف خطی استفاده می‌شود.

$x={a_{0}+}\sum _{k=1}^{N}{A_{k}}cos({\omega _{k}}t+\theta _{k})\,\!$

محاسبه ضرایب فوریه

نمایش مثلثی

نمایش مثلثی بالا را در نظر بگیرید. همان‌طور که گفته شد$T$ دوره تناوب و ${\omega _{n}}$ هارمونی nام تابع می‌باشد. در تبدیل فوریه سه ضریب $a_{n}$ و $b_{n}$ و ضریب ثابت $a_{0}$ مطرح است. ضریب‌ها با استفاده از روابط زیر قابل محاسبه هستند.

$a_{0}={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}f(x)dx\,\!$

$a_{n}={\frac {2}{T}}\int _{0}^{T}f(x)Cos(n{\omega }x)dx,n=1,2,\ldots \,\!$

$b_{n}={\frac {2}{T}}\int _{0}^{T}f(x)Sin(n{\omega }x)dx,n=1,2,\ldots \,\!$

بازه [$\pi ,\pi$-] یا در کل بازه‌هایی که طول آنها $2\pi$ است از مهمترین بازه‌هایی است که درمحاسبه ضرایب استفاده می‌شود. بدین ترتیب $p=2\pi$ پس ضرایب عبارتند از:

$a_{0}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)dx\,\!$

$a_{n}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)Cos(nx)dx\,\!$

$b_{n}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)Sin(nx)dx\,\!$

همگرایی

در کاربردهای مهندسی، به‌طور کلی فرض می‌شود که سری‌های فوریه تقریباً در همه جا همگرا شوند (استثنائاتی در ناپیوستگی‌های گسسته وجود دارد) زیرا عملکردهایی که در مهندسی مشاهده می‌شوند رفتار بهتری نسبت به توابعی دارند که ریاضیدانان می‌توانند به عنوان نمونه‌های متضاد این فرض ارائه دهند. به‌طور خاص، اگر $s$ پیوسته باشد و مشتق $s(x)$ (که ممکن است در همه جا وجود نداشته باشد) مربع انتگرال دار است، پس سری‌های فوریه به‌طور کامل و یکنواخت به $s(x)$ همگرا می‌شوند.

• 
  چهار جمع جزئی (سری فوریه) با طول ۱ ، ۲ ، ۳ و ۴ جمله ای، که نشان می‌دهد چگونه تقریب با یک موج مربعی با افزایش تعداد جمله‌ها بهبود می‌یابد.
• 
  چهار مجموع جزئی (سری فوریه) با طول ۱ ، ۲ ، ۳ و ۴ جمله ای، که نشان می‌دهد چگونه تقریب با یک موج دندانه اره ای با افزایش تعداد جمله‌ها بهبود می‌یابد.
• 
  نمونه ای از همگرایی به یک تابع نسبتاً دلخواه. به شکل‌گیری "طنین" (پدیده گیبس) در انتقال به بخش‌های عمودی توجه کنید.

توابع با ارزش پیچیده

اگریک تابع با ارزش پیچیده از یک متغیر واقعی استهر دو مؤلفه (قسمت واقعی و خیالی) توابعی با ارزش واقعی هستند که می توانند با یک سری فوریه نمایش داده شوند. دو مجموعه ضرایب و مجموع جزئی به صورت زیر به دست می آیند :

$c_{_{Rn}}={\frac {1}{P}}\int _{P}\operatorname {Re} \{s(x)\}\cdot e^{-i{\tfrac {2\pi }{P}}nx}\ dx$

و

$c_{_{In}}={\frac {1}{P}}\int _{P}\operatorname {Im} \{s(x)\}\cdot e^{-i{\tfrac {2\pi }{P}}nx}\ dx$

به صورت زیر نوشته می گردد$s_{_{N}}(x)=\sum _{n=-N}^{N}c_{_{Rn}}\cdot e^{i{\tfrac {2\pi }{P}}nx}+i\cdot \sum _{n=-N}^{N}c_{_{In}}\cdot e^{i{\tfrac {2\pi }{P}}nx}=\sum _{n=-N}^{N}\left(c_{_{Rn}}+i\cdot c_{_{In}}\right)\cdot e^{i{\tfrac {2\pi }{P}}nx}.$

تعریف کردن$c_{n}\triangleq c_{_{Rn}}+i\cdot c_{_{In}}$بازده:

$s_{_{N}}(x)=\sum _{n=-N}^{N}c_{_{n}}\cdot e^{i{\tfrac {2\pi }{P}}nx}$

این با معادله 5 یکسان است به جزودیگر مزدوج پیچیده نیستند. فرمول برایهمچنین بدون تغییر است:

${\begin{aligned}c_{n}&={\tfrac {1}{P}}\int _{P}\operatorname {Re} \{s(x)\}\cdot e^{-i{\frac {2\pi }{P}}nx}\ dx+i\cdot {\tfrac {1}{P}}\int _{P}\operatorname {Im} \{s(x)\}\cdot e^{-i{\tfrac {2\pi }{P}}nx}\ dx\\[4pt]&={\tfrac {1}{P}}\int _{P}\left(\operatorname {Re} \{s(x)\}+i\cdot \operatorname {Im} \{s(x)\}\right)\cdot e^{-i{\tfrac {2\pi }{P}}nx}\ dx\ =\ {\tfrac {1}{P}}\int _{P}s(x)\cdot e^{-i{\tfrac {2\pi }{P}}nx}\ dx.\end{aligned}}$

سایر نمادهای رایج

نمادبرای بحث در مورد ضرایب فوریه چندین تابع مختلف کافی نیست. بنابراین، معمولاً با یک شکل تغییر یافته از تابع (، در این مورد) مانندیاو نماد عملکردی اغلب جایگزین اشتراک می شود:

${\begin{aligned}s_{\infty }(x)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\hat {s}}[n]\cdot e^{i\,2\pi nx/P}\\[6pt]&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot e^{i\,2\pi nx/P}&&\scriptstyle {\mathsf {common\ engineering\ notation}}\end{aligned}}$

در مهندسی، به ویژه زمانی که متغیرنشان دهنده زمان است، دنباله ضریب نمایش دامنه فرکانس نامیده می شود . از براکت های مربعی اغلب برای تاکید بر اینکه دامنه این تابع مجموعه ای گسسته از فرکانس ها است استفاده می شود.

یکی دیگر از نمایش های رایج حوزه فرکانس از ضرایب سری فوریه برای تعدیل یک شانه دیراک استفاده می کند :

$S(f)\ \triangleq \ \sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot \delta \left(f-{\frac {n}{P}}\right),$

جایی کهfیک دامنه فرکانس پیوسته را نشان می دهد. وقتیxمتغیر است و واحدهای ثانیه دارد،fدارای واحدهای هرتز است. «دندان‌های» شانه در چند برابر (یعنی هارمونیک ) فاصله دارند${\tfrac {1}{P}}$که به آن فرکانس بنیادی می گویند.$s_{\infty }(x)$می توان از این نمایش با تبدیل فوریه معکوس بازیابی کرد :

${\begin{aligned}{\mathcal {F}}^{-1}\{S(f)\}&=\int _{-\infty }^{\infty }\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot \delta \left(f-{\frac {n}{P}}\right)\right)e^{i2\pi fx}\,df,\\[6pt]&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot \int _{-\infty }^{\infty }\delta \left(f-{\frac {n}{P}}\right)e^{i2\pi fx}\,df,\\[6pt]&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot e^{i\,2\pi nx/P}\ \ \triangleq \ s_{\infty }(x).\end{aligned}}$

منابع

ویکی پدیای فارسی

ویکی پدیای فارسی

تبدیل فوریه

تبدیل فوریه یک تبدیل ریاضی است که توابع در زمان یا مکان را به توابعی در فرکانس زمانی یا مکانی تجزیه می کند، مانند بیان یک آکورد موسیقی بر حسب حجم و فرکانس نت های تشکیل دهنده آن. اصطلاح تبدیل فوریه هم به نمایش حوزه فرکانس و هم به عملیات ریاضی مربوطه اشاره دارد که نمایش دامنه فرکانس را به تابعی از فضا یا زمان مرتبط می‌کند.

تجسم رابطه بین زمان و دامنه فرکانس یک تابع، بر اساس تبدیل فوریه آن. تبدیل فوریه تابع ورودی f (قرمز) را در "حوزه زمان" می گیرد و آن را به یک تابع جدید f-hat (به رنگ آبی) در "حوزه فرکانس" تبدیل می کند. به عبارت دیگر، ما می توانیم تابع اصلی را به عنوان «حوزه زمانی داده شده» و تبدیل فوریه را به عنوان تابع «حوزه فرکانس داده شده» در نظر بگیریم. در این انیمیشن یک تقریب 6 جزئی ساده از یک موج مربعی به 6 موج سینوسی تجزیه می شود. این مولفه های فرکانس به صورت پیک های بسیار تیز در حوزه فرکانس تابع نشان داده می شوند که در نمودار آبی نشان داده شده است.این رابطه به صورت انتگرالی یک نوع الگویی است که موج آن نزولی متناهی است. در تصوی فوق رابطه آن اینگونه است که به صورت انتگرالی بر اساس رابطه مثلثاتی نوشته گردد${\int _{a}^{b}b_{n}\sin(nx)+a_{n}\cos(nx)}$. ${\lim _{x\to \infty }=+}$پس رابطه به صورت مثبت تعیین می گردد.

تعریف

در تبدیل فوریه اگر تابعی به اسمf داشته باشیم و این تابع انتگرال پذیر باشد و به صورت$f:\mathbb {R} \to \mathbb {C}$باشد و حد بی نهایت منفی و مثبت داشته باشیم به این صورت است

$|{f(xi)}=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i2\pi xix}dx|xi\in R$

تبدیل تابع $f(x)$ در فرکانس $\xi$ با عدد مختلط ${\hat {f}}(\xi )$ داده می‌شود. ارزیابی برای همه مقادیر $\xi$ تابع frequency-domain را تولید می کند. تبدیل فوریه در اینجا با افزودن یک circumflex به نماد تابع نشان داده می شود. وقتی متغیر مستقل time را نشان می دهد (اغلب به جای $x$ با $t$ نشان داده می شود)، متغیر تبدیل نشان دهنده فرکانس است (اغلب با $f$ به جای $\xi$). به عنوان مثال. اگر زمان با ثانیه اندازه‌گیری شود، فرکانس بر حسب هرتز است.

تبدیل فوریه که از نام ریاضیدان فرانسوی جوزف فوریه نامگذاری شده است

، تبدیلی انتگرالی است که در آن هر تابع$f(t)\!$به تابع دیگری $F(\omega )\!$ منعکس می کند. در این مورد، به $F(\omega )\!$ تابع "تبدیل فوریه" $f(t)\!$ می گویند. حالت ویژه تبدیل فوریه سری فوریه نامیده می شود و زمانی استفاده می شود که تابع $f(t)\!$ متناوب باشد، یعنی: $f(t+T)=f(t)\!$ . اگر تابع متناوب نباشد، یا به عبارت دیگر، تناوب آن برابر با بی نهایت (${\displaystyle T\to \infty \!}$) است، از سری فوریه عبارت زیر به دست می آید:

$F(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-\mathrm {i} \omega t}\,dt$

$f(t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }F(\omega )e^{\mathrm {i} \omega t}\,d\omega$

تبدیل فوریه و همراه با آن آنالیز فوریه در مباحث مختلف فیزیک از جمله الکترونیک و الکترومغناطیسی (به ویژه در مخابرات)، آکوستیک، فیزیک امواج و غیره کاربرد فراوانی دارد.

منابع

تحقیق از طریق منابع های ویکی پدیای فارسی

ویکی پدیای انگلیسی

معادله لاپلاس

معادله لاپلاس یک معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی است که بسیار مهم است و در ریاضیات، فیزیک و مهندسی کاربرد دارد. به عنوان نمونه می توان به رشته هایی مانند الکترومغناطیس، نجوم و دینامیک سیالات اشاره کرد که در آنها از حل این معادله استفاده شده است. می توان آن را به صورت سه بعدی به صورت زیر نمایش داد:

${\partial ^{2}\varphi \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}\varphi \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2}\varphi \over \partial z^{2}}=0$

پیرسیمون لاپلاس کاشف معادله لاپلاس و تبدیل لاپلاس است که در سال1749 میلادی به دنیا آمد و درسال 1827 در سن تقریبا 78 سالگی از دنیا رفت.

تعریف

در فضای سه بعدی، مسئله پیدا کردن تابع حقیقی دو بار مشتق‌پذیر φ بر حسب متغیرهای y ,x و z است بطوریکه: در مختصات دکارتی:

$\Delta \varphi ={\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial z^{2}}}=0.$

در مختصات استوانه‌ای:

$\Delta \varphi ={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial \varphi }{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial \phi ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial z^{2}}}=0$

در مختصات کروی:

$\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}=\frac{1}{{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}^2}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}\left({\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}^2\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}\right)$